北京理工大学《工科数学分析》第七章VIP

多元函数微分学,第七章,7.1多元函数的极限与连续,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域,无界开区域,例：,例：,（3）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1求的定义域,解,所求定义域为,（4）二元函数的图形,二元函数的图形通常是一张曲面.,图形如下：,例如,二、多元函数的极限,（或,这里,）.,说明：,（1）定义中的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2求证,证,当时，,原结论成立,例3求极限,解,其中,确定极限不存在的方法：,例4证明不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,三、多元函数的连续性,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当时,例6讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）有界性定理,（3）介值定理,有界闭区域上的多元连续函数必有界。,（2）最大值和最小值定理,例,解,思考：已知函数,求,练习：求,.,7.2偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,记为：,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如在处,练习：设,问,与,是否存在?,解:(由偏导函数),证,原结论成立,解,怎么样？,怎么样？,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求边界点、不连续点、以及其他特殊点处的偏导数要用定义求；,解,例5,解,按定义可知：,偏导数存在与连续的关系,？,一元函数中在某点可导连续，,多元函数中在某点偏导数存在连续，,偏导数的几何意义,如图,几何意义:,混合偏导,二、高阶偏导数,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,解,问题：,二阶混合偏导数都相等吗？,例8,解,问题：,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,7.3全微分,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,全增量的概念,全微分的定义,讨论函数,在点(0,0)处函数的全微分是否存在?,全微分与偏导数之间的关系如何呢？,二、可微的条件,一元函数在某点的导数存在微分存在,多元函数的各偏导数存在全微分存在,？,例如，,则,由上例可知：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,解,所求全微分,解,解,所求全微分,证(1),同理,不存在.,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,由公式得,7.4复合函数的求导法,一、复合函数求导的链式法则,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数称为全导数.,多元函数的情况：,链式法则如图示,解,解,解,令,记,同理有,于是,解,令,解,二、全微分形式不变性,全微分形式的不变性：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.,解,全微分用于误差估计,函数f(x,y)的误差估计公式,练习题,7.5隐函数的求导法,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,把代入方程，得,两边对求导，得,解得：,解,令,则,解,令,则,把代入方程，得,解得：,两边分别对和求偏导，得,解,令,则,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,二、方程组的情形,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对求导并移项,将所给方程的两边对求导，用同样方法得,例:连续可微函数组,1)证明函数组确定反函数,2)求,对x,y的偏导数.,满足,1)令,显然有连续偏导数，,因此方程组唯一确定反函数,2),两边对x求导,得,同理,两边对y求导,得,例：计算极坐标变换:,确定的反变换的偏导数.,同样有,所以,思考题,思考题解答,7.6方向导数与梯度,实例1：考虑一块金属板，在坐标原点处有一个热源假定任一点处的温度与它到原点的距离成反比,问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,在(3,2)处有一个蚂蚁，问蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地方？,实例2：爬山,问题的实质：高度增加最快的方向即为函数值z增加最快的方向,沿着什么方向最快到达山顶？,分析：设山的曲面方程为，1.在每个点处，有很多方向供选择；2.应沿着高度增加最快的方向。,讨论函数在点P沿某一方向的变化率,二、方向导数的定义,问：当沿着趋于时，,是否存在？,方向导数的计算公式：,证明,由于函数可微，,两边同除以,故有方向导数,解,解,故,推广,解,方向余弦,故,三、梯度的概念,结论,在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,等高线的画法,例如,梯度与等高线的关系：,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,推广,解,故,思考题,思考题解答,7.7微分学在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的,限位置.,空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极,法平面.,设空间曲线的参数方程为,设(1)式中的三个函数均可导，,情形1,各项同除以仍为方向向量：,割线的方向向量为:,切线的方向向量，简称切向量。,曲线在M处的切线方程,曲线在M处的切向量,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,特殊地,如果空间曲线方程为,法平面方程为,切线方程为,切向量为,解,切线方程,法平面方程,空间曲线方程为,情形2,法平面方程为,切线方程为,切向量为,利用公式，所求切向量为,则所求切线方程为,法平面方程为,解：,二、曲面的切平面与法线,设曲面方程为,情形1,在曲面S上任取一条通过点M0的曲线L，,均可导，,并设式中的三个函数,此式表明，向量,与曲线在M0处的切向量,切平面方程为,法线方程为,特殊地：如果空间曲面方程形为,曲面在M0处的切平面方程为,曲面在M0处的法线方程为,令,曲面在M0处的法向量为,解,令,切平面方程,法线方程,例4.确定正数使曲面,在点,解:二曲面在M点的法向量分别为,二曲面在点M相切,故,又点M在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,设曲面方程为,情形2,解:,所求切平面方程为：,所求法线方程为：,证明：曲面,上任一点处的切平面都通过原点。,证明：在曲面上任意取一点,则通过此点的切平面为,例6：设f(u)可微，,又,代入切平面方程得,上任一点处的切平面都通过原点。,例7：证明曲面,平面恒与定直线平行，,证明：曲面上任一点的法向量为,取定直线的方向向量为,则,(定向量),的所有切,故结论成立.,三、向量函数简介,1、向量函数,定理2：,定义4（可导性）：,如果极限,导，其导数为,存在，,定理3：,定理4：,定义5（向量函数的积分）：,2、空间曲线的向量表示,处的导向量,就是该点的切向量.,引进向量函数,设空间曲线的参数方程为:,3、向量函数的物理应用,思考题,思考题解答,设切点,依题意知法向量为,切点满足曲面和平面方程,7.8二元函数的泰勒公式,一、问题的提出,一元函数的泰勒公式：,问题:能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小.,二、二元函数的泰勒公式,其中记号,表示,表示,一般地,记号,例1,解,7.9多元函数的极值,一、二元函数的极值,(1),(2),例1,例,驻点不一定是极值点！,二元可微函数求极值的步骤,解,令,解,求最值的一般方法：求出区域内所有驻点，及其函数值求出区域边界上的最大值和最小值比较大小其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,二、二元函数的最值,解,令,解,区域如图,求驻点,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,三、条件极值,例：求在条件下的极值点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,目标函数,约束条件,定理,拉格朗日乘子法,方法,构造辅助函数,求辅助函数的驻点,解,则,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.,解:设,则切平面的法向量为,即,切平面方程,切点为,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题.,切平面在三坐标轴上的截距为,令,唯一驻点,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,例6.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,实验数据:,四、最小二乘法,问题：怎样确定中的参数，使得拟合最好？,？寻找变量x与y之间的函数关系式.,假设观察数据猜测x与y的函数关系为,最小二乘法:,利用作为拟合的总偏差，,求中的参数，使得总偏差s最小.,转化为极值问题:,设参数为a,b,c,则总偏差s可以看做a,b,c的多元函数，转化为多元函数极值问题.,例1,为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：每隔一小时测量一次刀具的厚度,得到一组实验数据如下：,在坐标纸上画出这些点，,选取，使得在处的函数值与实验数据相差都很小,解,把看成自变量和的一个二元函数，那么问题就