几类简单的微分方程-1

第一节,微分方程的基本概念,第七章,一、问题的提出例1,解,例2,解,P,Q,得,曲线积分,解,例5,一条平面曲线通过坐标原点，且该曲线上,任意一点M(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程.,其中C为任意常数.,把条件(12.2）代入(12.3)式得C=0.,将C=0代入(12.3）式，即得所求曲线方程,例6,质量为m的物体,只受重量作用,从静止开始做自由落体运动,求物体的运动规律.,解,首先建立坐标系，,即,1.微分方程:,二、基本概念,凡含有一个或几个自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.若自变量只有一个，则称为常微分方程；若自变量的个数不止一个，则称为偏微分方程.,常微分方程的一般形式：,如：,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,常微分方程,偏微分方程,2.微分方程的阶:,一阶微分方程,高阶(n2)微分方程,显式方程,隐式方程,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,3.线性与非线性微分方程:,(关于y线性),(非线性),(关于y非线性),(关于x线性),4.微分方程的解,的解；,5.微分方程的解的分类,(1)通解:,n个相互独立的任意常数c1,通俗地说，,微分方程的通解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这些常数之间没有任何关系.,(2)特解:不含有任意常数的解.,思考,通解是否一定包含了此方程的所有解？,不一定.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定n阶微分方程,特解的条件：,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,6.初值问题:,求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,例7,所求特解为,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),三、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,类型1,求解法：,变量分离,可以验证:(1.3)式为微分方程(1.1)的(隐式)通解.,事实上，,的解，则它必满足(1.3);,反之，若,是由(1.3)确定的隐函数，即,则由隐函数求导法，得,注若题目只需求通解，则不必讨论,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,C,例2,求微分方程,解,为所求通解.,例4,x,解,四、一阶线性微分方程,类型2,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,一阶线性微分方程,齐次线性方程的通解为：,1齐次线性方程：,求解法:,分离变量：,1.常数变易法,2非齐次线性方程：,作变换,可分离变量方程,积分得,一阶非齐次线性微分方程(4.1)的通解为:,2.常数变易公式,1常数变易法的实质:,注,未知函数的变量代换法，通过变量代换将原方程化为可分离变量的方程.,2在常数变易公式(2.3)中，应将积分,3特解公式,4(2.1)的解的结构,非齐次线性方程(2.1)的特解,对应齐次线性方程(2.2)的通解,解,例5,通解：,例6,解,关于x为线性方程,通解：,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线.,内容小结,1分离变量;,2两端积分-隐式通解；,1.可分离变量方程的求解步骤:,3根据定解条件定常数.,2.