定积分在几何学上的应用 1

四、旋转体的侧面积(补充),三、平面曲线的弧长,第二节,一、平面图形的面积,二、体积,定积分在几何学上的应用,第六章,教学目的与要求：,掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积）。重点：平面图形的面积、旋转体的体积。难点：平面图形的面积（极坐标情况）、旋转体的体积。,一、平面图形的面积,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,(一)、直角坐标系情形,解,两曲线的交点,面积元素,选为积分变量,解,两曲线的交点,选为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选吗？,解,两曲线的交点,选为积分变量,。,。,例4,3,3,得两切线的斜率为,故两切线为,其交点的横坐标为,。,。,S=,l1,l2,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,例6.求由摆线,的一拱与x轴所围平面图形的面积.,解:,(二)、极坐标系情形,(),d,o,+d,r=(),元素法,1取极角为积分变量，其变化区间为,以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：,.,.,曲边扇形的面积,dS,S,3作定积分,.,r,面积元素,曲边扇形的面积,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲线在极点自己相交，与此对应的角度为=,.,.,.,.,.,距离之积为a2的点的轨迹,直角系方程,双纽线,.,所围面积,.,.,.,由对称性,.,例6.,求双纽线,a,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,心形线,(圆外旋轮线),心形线,a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,心形线,(圆外旋轮线),a,a,a,2a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),心形线,2a,r=a(1+cos),02,0r2a,P,r,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),心形线,解,利用对称性知,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,(三)、小结,a,圆上任一点所画出的曲线。,1.1旋轮线,一圆沿直线无滑动地滚动，,来看动点的慢动作,圆上任一点所画出的曲线。,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,1.2旋轮线,2a,2a,a,x=a(tsint)y=a(1cost),t的几何意义如图示,t,a,当t从02，x从02a,即曲线走了一拱,a,圆上任一点所画出的曲线。,1.3旋轮线,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,2.1旋轮线也叫摆线,单摆,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,.,单摆,2.2旋轮线也叫摆线,单摆,.,2.3旋轮线也叫摆线,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。,单摆,.,2.4旋轮线也叫摆线,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),3.1旋轮线是最速降线,生活中见过这条曲线吗？,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),.,生活中见过这条曲线吗？,3.2旋轮线是最速降线,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),生活中见过这条曲线吗？,3.3旋轮线是最速降线,.,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),生活中见过这条曲线吗？,滑板的轨道就是这条曲线,3.4旋轮线是最速降线,.,a,a,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,4.1星形线,(圆内旋轮线),a,a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,4.2星形线,(圆内旋轮线),a,a,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,来看动点的慢动作,.,4.3星形线,(圆内旋轮线),a,a,02,或,.,P,.,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,4.4星形线,(圆内旋轮线),一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,5.1圆的渐伸线,a,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,.,a,5.2圆的渐伸线,再看一遍,.,a,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,5.3圆的渐伸线,a,0,x,M,t,t,a,at,(x,y),试由这些关系推出曲线的方程,.,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,5.4圆的渐伸线,1.曲线关于y=x对称,2.曲线有渐进线x+y+a=0,分析,3.令y=tx,得参数式,故在原点，曲线自身相交.,6.1狄卡儿叶形线,4.,x+y+a=0,曲线关于y=x对称,曲线有渐近线x+y+a=0,.,6.2狄卡儿叶形线,0,r,r=a,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,7.1阿基米德螺线,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,.,7.2阿基米德螺线,r=a,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,再看一遍,请问：动点的轨迹什么样？,.,7.3阿基米德螺线,r=a,0,r,.,7.4阿基米德螺线,r=a,0,r,r=a,.,7.5阿基米德螺线,0,r,r=a,.,7.6阿基米德螺线,0,r,8,当从0,r=a,.,7.7阿基米德螺线,对应从0变,例.计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处播放开始或暂停,到2所围图形面积.,r,0,.,这里从0+,8,.,.,8.1双曲螺线,r,0,.,当从0,8,.,8.2双曲螺线,1.,2,.,.,S=,=1+cos,3,r=3cos,由3cos=1+cos,得交点的坐标,S,2,.,.,.,.,.,.,.,2.,1,令cos2=0,由sin0,联立后得交点坐标,.,.,.,S=2,.,3.,1,s1,s2,.,.,.,.,.,.,s,S=,=1+cos,求由双纽线,.,.,.,.,由对称性,.,4.,a,内部的面积。,双纽线化成极坐标,令r=0,S=,4,+,.,思考题一,思考题一解答,两边同时对求导,积分得,所以所求曲线为,二、体积,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,(一)、旋转体的体积,旋转体的体积为,解,直线方程为,解,解,注意上下限!,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),柱壳体积,说明:,柱面面积,偶函数,奇函数,补充,利用这个公式，可知上例中,例4.计算由椭圆,所围图形绕x轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:方法1利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2利用椭圆参数方程,则,特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积,解,体积元素为,例6.设,在x0时为连续的非负函数,且,形绕直线xt旋转一周所成旋转体体积,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,(二)、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,则对应于小区间,的体积元素为,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为A(x)的立体,.,a,V,以下是几个例子,平行截面面积为已知的立体的体积,b,特别,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,思考:可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,提示:,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,垂直x轴的截面是椭圆,例9.计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当a=b=c时就是球体体积.,的体积.,例10.求曲线,与x轴围成的封闭图形,绕直线y3旋转得的旋转体体积.,(94考研),解:利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕轴旋转一周,绕轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,(三)、小结,思考题二,思考题二解答,交点,立体体积,三、平面曲线的弧长,(一)、平面曲线弧长的概念,当折线段的最大,边长0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(二)、直角坐标情形,曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(P168),解,所求弧长为,解,例3.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.,求这一段弧长.,解:,下垂,悬链线方程为,曲线弧为,(三)、参数方程情形,弧长元素(弧微分):,弧长,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,例5.计算摆线,一拱,的弧长.,解:,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,(四)、极坐标情形,弧长元素(弧微分):,弧长,解,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,(五)、小结,思考题三,思考题三解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,四、旋转体的侧面积(补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,取侧面积元素:,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S的,注意:,侧面积为,例11.计算圆,x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.,解:对曲线弧,应用公式得,当球台高h2R时,得球的表面积公式,例12.求由星形线,一周所得的旋转体的表面积S.,解:利用对称性,绕x轴旋转,第六章内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,3.已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕x轴:,4.旋转体的侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下ds的表达式),绕y轴:,(柱壳法),思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.,提示:交点为,弧线段部分,直线段部分,以x为积分变量,则要分,两段积分,故以y为积分变量.,2.试用定积分求圆,绕x轴,上,半圆为,下,求体积:,提示:,方法1利用对称性,旋转而成的环体体积V及表面积S.,方法2用柱壳法,说明:上式可变形为,此式反映了环体微元的另