华东师大数学分析13章-函数项级数

函数列及其一致收敛性,函数列,一、函数列及其一致收敛性,是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.,1、定义：,2、函数列的收敛,收敛点；,发散点；,3、函数列的极限函数,极限函数，,例1,例1,例2,例3,4、函数列的一致收敛,例题,定理1(函数列的柯西一致收敛准则),定理2,注柯西收敛准则的特点是不需要知道极限函数是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致,收敛.,方法：,例题,内闭一致收敛的定义,函数项级数及其一致收敛性,函数项级数,函数项级数及其一致收敛性,称为定义在E上的函数项级数,为函数项级数(9)的部分和函数列.,级数(9)在E的某个子集D上每点都收敛,则称级数,(9)在D上收敛.若D为级数全体收敛点的集合,就称D为函数项级数的收敛域.级数在D上每一,并记作,即,注：函数项级数的收敛性,就是指它的部分和函数列的收敛性！,例题,定义,则称,由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数,列来确定的,由此可知,函数项级数一致收敛性的判别法,定理1(函数项级数的柯西一致收敛准则)函数项级数,在数集D上一致收敛的充要条件为:对任,和,或,此定理中当p=1时,得到函数项级数一致收敛的一,个必要条件.,推论(函数项级数一致收敛的必要条件)函数项级,定理2：,由函数项级数,在区间(-1,1)上讨论这个级数,则由,收敛性.,先求和函数S(x),再估计表达式于是,故,上一致收敛.,注：当和函数S(x)容易求出时,上述判别法是比较好用的一种方法.,判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西,一致收敛准则外,有些还可以根据级数一般,项的某些特性来判别.,定理3(魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法),敛的正项级数，,证,及任何正整数p,有,根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数,在D上一致收敛.,例题函数项级数,例题,用M判别法判别下列函数项级数的一致收敛性.,由数学归纳法容易得到,利用Abel分部求和公式,可以得到,与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛性,的Abel判别法和Dirichlet判别法.,设有定义在区间I上形如,的函数项级数.对级数(14)有:,定理(Abel判别法)设,和正整,数,存在正数M0,使得,则级数(14)在I上一致收敛.,证明：,定理(Dirichlet判别法)设,在I上一致有界;,则级数(14)在I上一致收敛.,证明,因此当n,p为任何正整数时,对任何一个xI,得到,推论设,例题函数项级数,在0,1上一致收敛.,Abel判别法就能得到结果.,证：在,2-上有,例题若数列单调且收敛于零,则级数,致有界,于是令,一致收敛.,则由Dirichlet判别法可得级数(15)在上,例题,利用Dirichlet判别法判别下列级数的一致收敛性,例题,证明,用Dirichlet判别法可知原级数一致收敛.,一致收敛函数列的性质,一致收敛函数列的极限函数的连续性,证明,证明,注：(1)逆否命题若各项为连续函数的函数列在区间I上的极限函数不连续,则此函数列在区间I上不一致收敛.例子：函数列在区间(-1,1上不一致收敛.,注：(2)一致收敛性的条件是充分条件,但不是必要条件！,推论,一致收敛函数列的极限函数的可积性,证明,注：一致收敛性的条件是充分条件,但不是必要条件！,反例,一致收敛函数列的极限函数的可微性,证明,证明,推论,注：一致收敛性的条件是充分条件,但不是必要条件！,反例,一致收敛函数项级数的性质,一致收敛函数项级数的和函数的连续性,推论,一致收敛函数项级数的和函数的可积性,逐项求积分,一致收敛函数项级数的和函数的可微性,推论,逐项求导