大学数学高数微积分第三章线性方程组第五节课件课堂讲义

主要内容,线性方程组的向量表示形式,线性方程组有解判别定理,第五节,一般线性方程组的解法,线性方程组有解判别定理,线性方程组的求解步骤,在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在,可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程,组有解的判别条件.,设线性方程组为,一、线性方程组的向量表示形式,引入向量,于是线性方程组(1)可以改写成向量方程,x11+x22+xnn=.(3),显然，线性方程组(1)有解的充分必要条件为,向量可以表示成向量组1,2,n的线性组,合.,用秩的概念，这个条件可以叙述如下：,二、线性方程组有解判别定理,定理7线性方程组(1)有解的充分必要条件,为它的系数矩阵,与增广矩阵,有相同的秩.,证明,先证必要性.,设线性方程组(1)有解,就是说，可以经向量组1,2,n线性表出.,由此立即推出，向量组1,2,n与1,2,n,等价，因而有相同的秩.,这两个向量组分别,有相同的秩.,再证充分性.,就,是说，它们的列向量组1,2,n与1,2,n,有相同的秩，令它们的秩为r.,1,2,n,中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设,1,2,r是它的一个级大线性无关组.,显然,1,2,r也是1,2,r,的一个级大线,性无关组，因此向量可以经1,2,r线性,表出，它当然可以经1,2,n线性表出.,因此，方程组(1)有解.,证毕,三、一般线性方程组的解法,根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的,一个解法.,这个解法有时在理论上是有用的.,等于r，而D是矩阵A的一个不为零的r级子式,起见，不妨设D位于A的左上角.,大线性无关组，第r+1,s行都可以经它们线,性表出.,因此，方程组(1)与,同解.,当r=n时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一,解，也就是方程组(1)有唯一解.,当rn时，将方程组(4)改写为,方程组(5)作为以x1,x2,xr为变量的一个方程,组，它的系数行列式D0.,由克拉默法则，对于,xr+1,xn的任意一组值，方程组(5)，也就是方,程组(1)，都有唯一解.,xr+1,xn就是方程组(1),的一组自由未知量.,对(5)用克拉默法则，可以解,出x1,x2,xr：,(6)就是方程组(1)的一般解.,上述一般线性方程组的求解方法，可归纳成以,下步骤：,例1解线性方程,解,首先我们来判别方程组是否有解.,把方,程组的增广矩阵化为行阶梯形,初等行变换,因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为2，所以方,程组有解.,它的一个同解方程组是,把x1,x5取作非自由未知量，x2,x3,x4当作自由未,知量，并把方程组变形成,解之得方程组的一般解为,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课