《常微分方程》常系数线性方程的解法

三、非齐次线性方程，比较系数法与Laplace变换,考虑非齐次线性方程,（1）,其中是常数，f(t)是已知连续函数。,1.比较系数法,类型,类型,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,类型,此时方程(1)有特解,其中是待定系数，是为特征方程的根的重数，当不是特征根时，则。,若不是特征方程的根，则特解为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,代入方程，并比较方程两端t的同次幂的系数，有,因为，且，故可依次求得,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,解：因为不是特征方程的根，则特解为,代入方程，并比较方程两端t的同次幂的系数，有,例1求如下的一个特解。,解得,则特解为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,若是特征方程的k重根，即有,由方程(1)，有,此时方程变为,令上式变为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,此时特征方程为,故不再是的根了，于是可知上式方程的特解为,所以，对上式积分k次，可得,由变换，有,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,例2求如下方程的一个特解。,解：因为是特征方程的2重根，则特解为,代入方程，有,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,比较上式方程两端t的同次幂的系数，有,解得,则特解为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,若，可设，代入方程(1)，整理可得,同上讨论可得特解为,则,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,例3求如下方程的一个特解。,解：因为特征方程,代入方程，有,即是特征方程的单根，则特解为,有,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,解得,则特解为,通解为,其中为任意常数。,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,例4求如下方程的一个特解。,解：因为特征方程为,特征方程的3重根，其特解为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,代入方程，并比较方程两端t的同次幂的系数，有,解得,则特解为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,类型,其中为常数，分别是t的l次和s次多项式，此时方程组(1)有特解是：,其中k是为特征方程的根的重数，都是t的m次多项式，,事实上，由,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,由解的叠加原理，方程(1)的解是下列两个方程,的解之和。,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,设是的解，则是的解。利用类型可得的一个特解是,故的一个特解是,于是得到方程(1)的解为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,例5求如下方程的一个特解。,解：因为特征方程,代入方程，有,解得,则所求特解为,是特征方程的2重根，而不是特征根，则特解为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,注：对于,可考虑,它的特解为,则u(t)是,的解；而v(t)是,的解。,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,因为不是对应齐次方程的特征根，则特解为,例6求如下方程的一个特解。,代入方程，并比较方程两端t的同次幂的系数，有,解得,解：考虑方程,即,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,得特解为,故是,的一个特解；而是,的一个特解。,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,例7求如下欧拉方程的通解。,解：作变换，令,方程变为,先求上式对应齐次方程的通解，特征方程为,解得特征值为,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,是二重根，齐次方程的通解为,由于不是特征根，其特解为,代入方程，有,即,比较两边s同次幂的系数，有,第四章高阶微分方程,4.2常系数线性方程的解法,解得,所求方程的特解为,得到原方程的通解为,其中为任意常数。,第四章高阶微分