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文档简介

2数列的极限(limit),数列的概念数列极限的定义数列极限的性质,高等数学与初等数学的差别在于:研究对象:变量与常量;研究方法:无限观念与有限观念。,极限概念是数学分析中一个最基本的概念,导数,定积分和级数等概念都是以极限为基础的,整个微积分是建立在极限理论之上的。,Step1以直代曲;,Step2考察变化趋势。,1.极限概念的引入,一.数列的概念,n越大,阶梯越多,近似程度就越高,但不论n多大,总是近似的,必须考察n趋于无穷的过程。,例2.求单位半径园的周长。,Step1:以直代曲,得到一系越来越逼近于圆周长的近似值;,Step2:考察这一系列值的变化趋势,从而确定出圆周长的准确值,圆周长:,.,2.数列的定义,定义1,通项,序列,一般可以,前面只从实际例子引入极限的定性描述,现在要求用精确的数学语言来描述极限这一概念。先从数列的概念开始。,例如,定义2.,定义3.,为有界序列。,例:,二.数列极限(limit)的定义,极限概念的定性描述,limit,“无限增大”与“无限接近”如何定量描述?,例,如果数列没有极限,则称数列是发散的.,注意:,几何解释:,证明:,证明:,证明:,三.数列极限的性质,1.唯一性,定理1.收敛数列的极限是唯一的,即,证明:,矛盾!,矛盾!,例证明数列,是发散的.,证:用反证法.,假设数列,收敛,则有唯一极限a存在.,取,则存在N,但因,交替取值1与1,内,而此二数不可能同时落在,长度为1的开区间,使当nN时,有,因此该数列发散.,Sep.28Fri.Review,函数运算:四则运算,反函数,复合函数;基本初等函数与初等函数;数列:概念,子列,有界;极限:极限思想、精确定义、几何意义,子列,有界,几个特殊数列的极限;,极限性质:唯一性。,定理2.收敛数列必有界。,2.有界性,证明:,注意:1).有界性是数列收敛的必要条件;,2).无界数列必定发散.,3.夹逼性,定理3.,证明:,解:,证明:,4.保号性,定理4.,证明:,推论:,证明:,*,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,4.子列收敛性,定理4收敛数列的任意子列也收敛,且极限相同.,由此性质可知,限,例如,,发散!,则原数列一定发散.,说明:,若数列有两个子数列收敛于不同的极,Hw:p361,2(2).,推论:,证明:,3函数的极限,函数在有限点处的极限单侧极限时的极限函数极限的性质,1.函数在有限点处的极限,一.函数极限的定义,注意:,几何解释:,解:,x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y),holdplot(x,x);plot(x,-x);,解:,x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y),2.单侧极限,例如,左极限,右极限,例1,左极限,右极限,两种情形:,几何解释:,解:,Oct.8Mon.Review,数列极限性质:唯一性,有界性,夹逼性,保号性,子列收敛性;函数极限:趋于有限点,单侧极限(左右极限).,解:,定理,极限的七种形式:,二.函数极限的性质,定理1(唯一性),证明:,定理2(局部有界性),推论:,证明:,定理3(保号性),定理4,证明:,推论:,子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理5(函数极限的并归性),证明:,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,函数极限与数列极限的关系,例,证明:,二者不相等,,定理6.(夹逼性),例,Hw:p363

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