北京理工大学工科数学分析1-2数列的极限

2数列的极限（limit）,数列的概念数列极限的定义数列极限的性质,高等数学与初等数学的差别在于：研究对象：变量与常量；研究方法：无限观念与有限观念。,极限概念是数学分析中一个最基本的概念，导数，定积分和级数等概念都是以极限为基础的，整个微积分是建立在极限理论之上的。,Step1以直代曲；,Step2考察变化趋势。,1.极限概念的引入,一.数列的概念,n越大，阶梯越多，近似程度就越高，但不论n多大，总是近似的，必须考察n趋于无穷的过程。,例2.求单位半径园的周长。,Step1：以直代曲，得到一系越来越逼近于圆周长的近似值；,Step2：考察这一系列值的变化趋势，从而确定出圆周长的准确值,圆周长：,.,2.数列的定义,定义1,通项,序列,一般可以,前面只从实际例子引入极限的定性描述，现在要求用精确的数学语言来描述极限这一概念。先从数列的概念开始。,例如,定义2.,定义3.,为有界序列。,例：,二.数列极限(limit)的定义,极限概念的定性描述,limit,“无限增大”与“无限接近”如何定量描述？,例,如果数列没有极限,则称数列是发散的.,注意：,几何解释:,证明：,证明：,证明：,三.数列极限的性质,1.唯一性,定理1.收敛数列的极限是唯一的,即,证明：,矛盾！,矛盾！,例证明数列,是发散的.,证:用反证法.,假设数列,收敛,则有唯一极限a存在.,取,则存在N,但因,交替取值1与1,内,而此二数不可能同时落在,长度为1的开区间,使当nN时,有,因此该数列发散.,Sep.28Fri.Review,函数运算：四则运算，反函数，复合函数；基本初等函数与初等函数；数列：概念，子列，有界；极限：极限思想、精确定义、几何意义，子列，有界，几个特殊数列的极限；,极限性质：唯一性。,定理2.收敛数列必有界。,2.有界性,证明：,注意：1).有界性是数列收敛的必要条件；,2).无界数列必定发散.,3.夹逼性,定理3.,证明：,解：,证明：,4.保号性,定理4.,证明：,推论：,证明：,*,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,4.子列收敛性,定理4收敛数列的任意子列也收敛，且极限相同.,由此性质可知,限,例如，,发散!,则原数列一定发散.,说明:,若数列有两个子数列收敛于不同的极,Hw:p361，2(2).,推论：,证明：,3函数的极限,函数在有限点处的极限单侧极限时的极限函数极限的性质,1.函数在有限点处的极限,一.函数极限的定义,注意：,几何解释：,解：,x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y),holdplot(x,x);plot(x,-x);,解：,x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y),2.单侧极限,例如,左极限,右极限,例1,左极限,右极限,两种情形：,几何解释：,解：,Oct.8Mon.Review,数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性，保号性，子列收敛性；函数极限：趋于有限点，单侧极限(左右极限).,解：,定理,极限的七种形式：,二.函数极限的性质,定理1（唯一性）,证明：,定理2（局部有界性）,推论：,证明:,定理3（保号性）,定理4,证明：,推论：,子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理5（函数极限的并归性）,证明：,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,函数极限与数列极限的关系,例,证明：,二者不相等，,定理6.（夹逼性）,例,Hw:p363