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Oct.15Mon.Review,1.无穷小阶的比较：,2.等价无穷小,常用等价无穷小:,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,注意：不是乘除的情况，不一定能这么做。,3.高阶无穷小的比较,函数连续性函数的间断点连续函数的运算闭区间上连续函数的性质,8函数的连续性,一.函数的连续性,例.,函数连续从字面上理解图形应该是一条连续不断的曲线。,1.连续定义,增量定义:,定义2,2.连续函数概念,定义,从几何直观上看，在一个区间上连续的函数的图形是一条不间断的曲线。,解：,解：,3.单侧连续,定理,二.函数的间断点,1.可去间断点,例1.,例2.,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,2.第I类间断点,例3,特点,3.第II类间断点,例4.,例5,解,注意：不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,例6.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型，如果是可去间断点，则补充定义，使函数连续。,解:,解,解:,解:,三.连续函数的运算,1.四则运算,例,2.复合函数的连续性,定理1,1.函数符号与极限符号交换。,意义：,Oct.17Wed.Review,函数连续性：,函数的间断点：可去间断点，第I，II类间断点；,连续函数的四则运算：,复合函数的连续性：,例,3.反函数的连续性,定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。,例,定义区间是指包含在定义域内的区间.,连续函数的运算：连续函数的和差积商的连续性；反函数的连续性；复合函数的连续性；初等函数的连续性。初等函数求极限的方法代入法.,解：,解：,证明：,解：,Hw:p691(单),2(2,4),6,7,8(1).,四.闭区间上连续函数的性质,定义1,例：,1.最大最小值定理,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,例1,例2,推论(有界性定理),证明：,由th1.,2.零点与介值定理,定义2,定理2(零点值定理),几何解释:,证明：,考虑函数,证明：,几何解释：,定理(介值定理),证明：,推论,例1,证明：,证明：,Hw：p709,10,11.p761(2,4,6,8,10,12,16),5(2,4),6,8,9.,小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间；2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立,解题
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