第三章-一维波动方程的达朗贝尔公式-1

第三章：行波法与积分变换法,深圳大学电子科学与技术学院,3.1一维波动方程的达朗贝尔公式,一维波动方程的达朗贝尔公式三维波动方程的定解问题拉普拉斯变换法傅立叶变换法积分变换法举例,本章内容提要:,参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件,适用范围：无边界波动方程基本思想:先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是类似的。关键步骤：通过变量代换，将泛定方程化为混合偏微分形式，便于积分后得到通解。,行波法（要点）,对于波动方程，引入变量代换：,同理：,将(1)化成以为变量:,（1）,这样波动方程变成：,波动方程的混合微分形式,3.1一维波动方程的达朗贝尔公式,这是不含的积分常数，但必须依赖于变量，否则只有解u(),先对积分：再对积分：波动方程的通解为,这是不含的积分常数，但必须依赖于变量，否则只有解,该解对于任何边界条件和初始条件都成立，,：二次连续可微函数,求的通解,无界弦的自由振动:任意初始位移,任意初始速度。无界弦自由振动的初值问题为：(1)的通解为：由(2)得到：,（1）（2）（3）（4）（5）,波动方程的特解,（4）（5）(6),(5)两边对x积分，积分区间为0,x：,推导,（4）（6）,(4)与(6)联立得到代入(3)：,(1747),结果：,达朗贝尔公式,同样道理，相应表示一个以速度为a，沿x轴负方向传播的行波，称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动，总是以行波的形式，同时分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a。基于上述原因，本节所用的方法，便称其为行波法。,达朗贝尔公式的物理意义,观察者在t=0时刻，在位置x=D看到的波形为,观察者以速度a沿x轴正向移动,观察者在移动t时间后，到达位置x=D+at，看到的波形为,观察者在移动中任意时刻t看到的波形相同，波形跟观察者一样以速度a沿x轴正向移动,0DD+atx,结论：表示以速度a沿x轴正向运动的行波,通解：,（反行波）（正行波）,t=t1,t=t2,波动方程的通解是正行波和反行波的叠加,x,x,u(x,t),t=0,x,右传播波,左传播波,特解：在初始速度为零情况下：特解是(波形相同的)正行波和反行波的叠加。但在初始速度不为零的情况下，特解包含正、反行波及“干涉项”，后者的出现能使波形发生畸变（甚至变成单个的行波）。,物理意义：特解是以速度a、沿x轴正向传播的高斯波包,波动方程的一个特解:高斯波包,1.孤立波服从非线性波动方程2.它的解是双曲正割函数：3.孤立波是沿x轴正向传播的波包4.在介质中传播不损失能量*激光器，*光纤通讯,*细胞通讯,任意位置x的波形,0t,孤立波（Soliton）:,sinhx,coshx,x,1,孤立子脉冲的时间积分(脉冲面积)给出它在空间任意位置z的能量：,这意味着孤立子脉冲在空间传播时，其能量与空间位置z没有关系，即在任意位置孤立子脉冲具有相同的能量(能量守恒)。换言之，孤立子在介质中传播时不损失它的能量。这是由于sech波形所决定的。,孤立子传播不损失能量,面积为2的孤立子光脉冲进入介质之初，原子处于低能态。孤立子通过介质时将原子从低能态激发到高能态，在这个过程中孤立子失去了一定的能量；随后当孤立子离开介质时，高能态的原子跃迁回低能态又将等量的能量“退还”给孤立子。这样孤立子在穿过介质的全过程中没有将自身的能量消耗在原子系统中。所以孤立子脉冲是一个所谓的“自感应透明”脉冲（介质对孤立子是”透明“的）。,物理机制,依赖区间决定区域影响区域,特征方程特征线特征变换特征线法,达朗贝尔公式的进一步讨论,达朗贝尔公式中的积分值只依赖于初始速度在区间内的变化行为，这意味着特解u(x,t)只依赖于该区间的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。这个区间被称为点(x,t)的依赖区间。下面我们考察这个区间的边界，为此，设X是该区间内的任意一点,则设X的最小值为X1,最大值为X2，则区间的边界为:,特解依赖初始条件的区间,t,x,决定区域(二直线与t=0围成的区域),在t-x平面上，是斜率为的两条直线,依赖区间(t=0),决定区域(t0),0,决定区域:,依赖区间,上图所示的三角形区域中的任意一点（x，t）的依赖区间，都落在了区间X1,X2上，因此求解在此三角形区域中的数值，完全由区间X1,X2上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关。在这个区间上给定初始条件，就可以在其确定的区域中确定初始值问题的解，这就是被称为决定区域的由来。这个三角形区域称为区间X1,X2的决定区域。,t,t,x,x,经过t时间后,任意点x的变化范围是,依赖区间,决定区域,(二直线与t=0围成的区域),影响区域,0,0,正行波,在t=0时刻，依赖区间上任意点x的变化范围是,反行波,影响区域:,影响区域,若过X1、X2分别作直线，则经历时间t之后，在区间X1,X2上受到的初始扰动影响的区域为,在此区域之外的波动，则不受X1,X2上初始扰动的影响，称t-x平面上，由上述不等式所确定的区域，为X1,X2的影响区域。,t,x,特征线:两族直线,在t-x平面上，是斜率为的两条直线,0,特征线,从上面的讨论中可以看出，在平面上，斜率为的两族直线,对一维波动方程：,的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为上述一维波动方程的特征线。,因为在特征线上，右行波的振幅取常数值；,因为在特征线上，左行波的振幅取常数值,且这两个数值，随特征线的移动（即常数的改变）而变化。所以，,波动实际上是沿特征线传播的。变换常称为特征变换，行波法又常称为特征线法。,特征线:两族直线,是常数是变量,特征线特征变换,波动实际上是沿特征线传播的。变换常称为特征变换，行波法又常称为特征线法。,原方程：特征方程：特征线：特征变换：简化方程：,结论：只要找到特征方程就可以将原方程化简,结论,需要注意：,正好是常微分方程的积分曲线，这个常微分方程，称之为一维波动方程的特征方程。对于更一般的二阶线性偏微分方程,来说，它的特征方程为,这个常微分方程的积分曲线，称为偏微分方程（3.12）的特征曲线。二阶线性偏微分方程的特征曲线，仅与该方程中的二阶导数项的系数有关，而与其低阶项的系数无关。,需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（3.12）都有两族实的特征线。,则在此区域内，称（3.12）为双曲型方程，波动方程属于双曲型方程。,则在此区域内，称（3.12）为抛物线型方程，热传导方程属于抛物线型方程；,则通过此区域内的每一点才有两条相异的实的特征线；,则通过此区域内的每一点都不存在实的特征线；,则通过此区域内的每一点仅有一条实的特征线；,若在某区域内,则在此区域内，称（3.12）为椭圆形方程，拉普拉斯方程、泊松方程，均属于椭圆形方程；,0（双曲型）如一维波动方程=0（抛物线型）如一维热传导方程0（椭圆型）如二维拉氏方程,二阶线性偏微分方程:通式和分类,特征方程：,结论(一般情况),特征线：,注：只有双曲方程有特征线,特征变换：,简化方程：,在A、B、C均为常数时：,无论（3.12）为哪一种类型的方程，一般情况都可以通过适当的自变量之间的代换，将其化简为所谓的标准形式。,下面举例说明，如何通过将一维波动方程化简，来求其定解问题。,其通解为：,或者：,上述偏微分方程的特征方程,积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为,对特征方程行因式分解，得,（2）得到特征变换为,（3）通解为,试写出下列方程的通解,例1求下面柯西问题的解：,解泛定方程所对应的特征方程为,特征曲线（两族积分曲线）为,作特征变换,验证