常微分方程数值解

第五章,常微分方程数值解法,（NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations）,必要性在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程。只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。,常微分方程数值解法,5.1引言,一阶常微分方程初值问题：,利普希茨连续条件（Lipschitzcontinuity）是以德国数学家鲁道夫利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件(称为一致连续)。,利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数L（该常数依函数而定）。,二、初值问题解的存在性,1.考虑一阶常微分方程的初值问题,则上述问题存在唯一解。,对任意定义在上的都成立，,解存在性定理：,要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值采用离散化方法。,称节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,2.数值解法,三、初值问题的离散化方法,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，,值,取。,按节点从左至右的顺序依次求出的近似,如果计算需用到前r步的值,则称这类方法为r步方法。,2欧拉方法,一.欧拉公式(单步显示公式）：,向前差商近似导数,亦称为欧拉折线法,a=x0x1xn=b,在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差。,定义,若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。,定义,欧拉法的局部截断误差：,Ri的主项,泰勒展开式,欧拉法具有1阶精度。,例1:用欧拉公式求解初值问题,取步长。,解:应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：,其中。,计算结果列于下表：,可用来检验近似解的准确程度。,进行计算，数值解已达到了一定的精度。,这个初值问题的准确解为，,从上表最后一列，我们看到取步长,二、后退的欧拉公式,向后差商近似导数,由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式。而前面学的称为显式欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,隐式欧拉法没有显式欧拉法方便！但是数值稳定的！,三、梯形格式,显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差，,即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。,但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到,迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,显式欧拉,隐式欧拉,梯形公式,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,Cantyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?,Doyouthinkitpossible?,Well,callmegreedy,OK,letsmakeitpossible.,四、改进欧拉法,Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出,嵌套形式,平均化形式,注:此法亦称为预测-校正法,可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它,是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,五、欧拉两步格式,用中心差商替代方程中的导数项，有,（两步欧拉格式）,计算当前步的值需要用到前两步的值，因此，得名两步格式。同时，也称前两种方法为单步方法。,欧拉格式基本思想：就是用差商代替导数（向前、向后和中心差商）,欧拉格式,隐式欧拉格式,两步欧拉格式,一阶精度,一阶精度,二阶精度,总结,改进欧拉法格式为,即证明改进欧拉法具有2阶精度,27,改进的欧拉法（2阶精度）,y(xn+1)在点xn处的一阶泰勒展开式为：,显式欧拉法（1阶精度）,3龙格-库塔法,显式欧拉法用一个点的值k1作为k*的近似值改进的欧拉公式用二个点的值k1和k2的平均值作为k*近似值；改进的欧拉法比显式欧拉法精度高；在xn,xn+1内多预报几个点的ki值，并用其加权平均值作为k*的近似值从而构造出具有更高精度的计算公式，这就是龙格-库塔方法的基本思想。,对差商应用微分中值定理，有，,利用微分方程，有,这里的称为平均斜率。,Taylor展开,可将改进的欧拉格式改写成,的算术平均值作为平均斜率。,该公式可以看作是用和两个点处的斜率和,由改进型欧拉公式我们可以猜想，如果在,内多预测几个点的斜率，再对他们进行加权平均，,可能得到精度更好的平均斜率！,二阶龙格-库塔方法：,考察区间上的一点，,用和的斜率和的加权平均作为平均,斜率的近似值：,即取,其中和是待定常数。若取，则,问题在于如何确定处的斜率和常数和。,仿照改进的欧拉方法，用欧拉方法预测的值，,并用它来估计斜率：,于是得到如下形式的算法：,通过适当选取参数和的值，使得公式具有,2阶精度！,由泰勒公式展开，要使公式具有2阶精度，只需,方程组有无穷多解：二级方法有无穷多种,二阶方法中的所谓变形的欧拉公式：,三阶龙格-库塔方法：,再增加一个点，类似二阶的情况，可得：,由泰勒公