常微分方程CH-3-3

1,3.3解对初值的连续性和可微性定理,解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性,内容:,2,G,图例分析(见右),1解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,机动目录上页下页返回结束,3,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,机动目录上页下页返回结束,4,机动目录上页下页返回结束,5,2解对初值的连续依赖性,引理如果函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。,机动目录上页下页返回结束,6,证：,设,在a,b上均有定义。,令,则,机动目录上页下页返回结束,7,当,时，,机动目录上页下页返回结束,8,此结论为习题3.1第6题Gronwall不等式的特殊情况!,机动目录上页下页返回结束,引理如果函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。,9,引理2如果函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程的任意两个解及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内的某一值。,定义设令则称为之间的距离。,机动目录上页下页返回结束,10,定理1(解对初值的连续依赖性定理),条件:I.在G内连续且关于满足局部L-条件;II.是(1)过点的解,定义区间为a,b.,结论:对,使得当,时,方程(1)过点的解在a,b上也有定义,且,方程,机动目录上页下页返回结束,11,思路分析：,机动目录上页下页返回结束,12,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使,且在D上满足L-条件.,G,(见下图),由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使在其内满足L-条件,利普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当时,有,对,记,则以为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,机动目录上页下页返回结束,13,机动目录上页下页返回结束,14,第二步:证明在a,b上有定义.,机动目录上页下页返回结束,15,证,机动目录上页下页返回结束,16,事实上，由于,是一个有界闭域，且,于其内关于,满足利普希茨条件，,知，解,必能延拓到区域,的边界上。,的边界上的点为,和,，,，则必有,。,由延拓定理,设它在,机动目录上页下页返回结束,17,因为,连续，,存在,，,，当,时有,取,，则当,时，就有,所以对,机动目录上页下页返回结束,否则设,，由引理，有,，,18,机动目录上页下页返回结束,(*),，,19,特别地有,，,即点,及,均落在域,而不可能位于,的内部，,的边界上,这与假设矛盾,上有定义。,因此,解,在区间,机动目录上页下页返回结束,20,在不等式(*)中将区间,换成,可知，当,，,时就有,，,证毕。,机动目录上页下页返回结束,第三步:证明,21,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:,定理2(解对初值的连续性定理),条件:在G内连续且关于满足局部L-条件;,方程,机动目录上页下页返回结束,22,机动目录上页下页返回结束,23,证：,对任一,设解,的最大存在区间为,令,则解,作为,的三元函数,在V上有定义，,下证它在V上连续。,机动目录上页下页返回结束,24,即,选取,使,由解对初值的连续依赖的定理，,对,在,上有定义，且当,时，,又,作为,上连续，,连续，,的函数在,特别在,不妨取充分小，使,机动目录上页下页返回结束,25,令,则当,时，有,所以,在,连续。,由,的任意性，即得所要证明的结论。,机动目录上页下页返回结束,26,考察,(2),令,设,在,内连续，且在,内一致,满足局部利普希茨条件,即对,3解对初值和参数的连续依赖性,地关于,内的,机动目录上页下页返回结束,27,由解的存在唯一性定理，对每一,(2)过点,方程,的解唯一确定。,记这个解为,，满足,机动目录上页下页返回结束,每一点,都存在以,为中心的球,，使得对任何,，,，有,，其中,是与,无关的正数。,28,解对初值和参数的连续依赖定理,在,内连续,且在,内一致地关于,满足局部利普希,茨条件，,，,是方程,(2)通过点,的解,在区间,上有定义，,其中,，则对,使得当,时，方程(2)通过点,的解,在区间,且,上有定义，,设,机动目录上页下页返回结束,29,解对初值和参数的连续性定理,在,内连续，且在,内一致地关于,满足局部利普希,茨条件，则方程(2)的解,作为,的函数在它们存在范围内是连续的。,设,机动目录上页下页返回结束,30,解对初值的可微性定理,及,都在区域,内连续，则方程(1)的解,作为,的函数在它的,存在范围内是连续可微的。,4解对初值的可微性,若函数,机动目录上页下页返回结束,31,证明,解对初值的连续性定理成立，,由已知条件,在它的存在范围关于,下证函数,任一点偏导数,存在且连续。,即,连续。,在它的存在范围内,机动目录上页下页返回结束,32,设由初值,和,为足够小的正数）所确定的方程的解分别为,和,则,，,机动目录上页下页返回结束,33,于是,其中,。注意到,及,的连续性，则,时，,，且当,机动目录上页下页返回结束,34,其中,与,具有相同的性质。,有,即,是初值问题,的解，,被看成参数。,时，IVP（*）仍然有解。,的连续定理，知,是,的连续函数。,类似地，有,因此对,显然，当,根据解对初值和参数,（*）,这里,机动目录上页下页返回结束,35,从而存在,而,是初值问题,的解。,显然它是,的连续函数。,不难求得,机动目录上页下页返回结束,36,同样可证,存在且,是IVP,的解。,显然它是,的连续函数