常微分方程-第一章

夏红强,常微分方程,第一章基本概念第二章初等积分法第三章存在唯一性定理第四章奇解第五章高阶微分方程第六章线性微分方程组第七章微分方程的幂级数解法第八章定性理论与分支理论初步第九章边值问题,常微分方程目录,第一章基本概念,1.1微分方程及其解的定义1.2微分方程及其解的几何解释,1.1微分方程及其解的定义,一、常微分方程与偏微分方程定义1:把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程.,例1下列关系式都是微分方程,附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含.如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如不是微分方程.实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.,附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，如上面例1中,是常微分方程,如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例1中,是偏微分方程.本课程主要研究常微分方程.同时把常微分方程简称为微分方程或方程.,二、微分方程的阶定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数.在上面例1中，,是一阶微分方程；,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.,在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称微分方程为常系数线性微分方程,微分方程的解：如果将函数,代入微分方程后,能使方程成为恒等式，,这个函数就称为该微分方程的解,微分方程的解有两种形式：,通解和特解,如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为通解.,初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件,不含有任意常数的解，称为特解.,解：,由初始条件,代入,由初始条件,代入,则,于是，满足所给初始条件的特解为,例3求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.,解:设所求的曲线方程为,由导数的几何意义,应有,即,又由条件:曲线过(1,3),即,于是得,故所求的曲线方程为:,例4物理冷却过程的数学模型,将某物体放置于空气中,在时刻,时,测得它的,试决定此物体的温度,20分钟后物体的温度.这里假设空气的温度保持在,温度为,10分钟后测量得温度为,和时间的关系,并计算,解:Newton冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.,设物体在时刻的温度为根据导数的物理意义,则温度的变化速度为由Newton冷却定律,得到,其中为比例系数.此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.,注意:此式子并不是直接给出和之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得与之间的关系式,以后再介绍.,例5R-L-C电路,如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,解:电路的Kirchhoff第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),则电流经过电感L,电阻R和电容C的电压降分别为其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律,得到,因为于是得到,这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.,例6数学摆（单摆）,数学摆是系于一根长度为的线上面质量为的质点M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.,解:Newton第二定律:,取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角的正方向.则由Newton第二定律,得到摆的运动方程为,附注1:如果研究摆的微小振动,即当比较小时,可以取的近似值代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:,附注2:假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力系数为则摆的运动方程为:,附注3:假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,则摆的运动方程为:,1.2微分方程及其解的几何解释,微分方程(1.19)的通解代表xy平面上的一族曲线，就称之为微分方程的积分曲线族。,1.满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。,2.方程（1.19）的积分曲线的每一点处的切线斜率刚好等于函数在这点的值.,积分曲线和方向场,积分曲线（定义）,注释：,方向场,设函数的定义域为，在每一点处画上一个有向小线段，其斜率等于在该点的值，把带有这种直线段的区域称为由方程（1.19）规定的线素场，又称方向场.,等斜线,在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）.,分析：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.,例1画出方程所确定的方向场示意图.,解,方程的等斜线为,取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出三条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量，即可得方向场（如图示），并可以进一步大体描绘出其积分曲线。,方向场画法,例2考察方程,的方向场和它的积分曲线。,半直线族中的直线上每一点的方向都和方向