山东大学数学分析9

1平面点集与多元函数,2二元函数的极限,3二元函数的连续,第9章多元函数的极限与连续,第9章多元函数的极限与连续,1平面点集与多元函数,一、平面点集,1.邻域:,以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径的圆内部点的全体称为X0的邻域.,即,记(X0,)=U(X0,)X0,称为X0的去心邻域.,如图,U(X0,),(X0,),当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和(X0).,2.内点:,设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域U(X0,)E,则称X0为E的内点.,E的全体内点所成集合称为E的内部,记为E0.,D=(x,y)|x2+y21,如图,易知,圆内部的每一点都是D的内点.但圆周上的点不是D的内点.,又如z=ln(x+y)的定义域D=(x,y)|x+y0,易见,直线上方每一点都是D的内点.即D=D,但直线上的点不是D的内点.,3.边界点:,设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若X0的任何邻域U(X0,)内既有属于E的点,又有不属于E的点,则称X0为E的边界点.,E的全体边界点所成集合称为E的边界.记作E.,如,例1中定义域D的边界是直线x+y=0上点的全体.例2中定义域D的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图,E的边界点可以是E中的点,也可以不是E中的点.,D,4.开集,设E是一平面点集,若E中每一点都是E的内点.,即EE0,则称E是一个开集.,由于总有E0E,因此,EE0E=E0,故也可说,比如,例1中D是开集,(D=D0),而例2中D不是开集.,若E=E0,则称E是一个开集.,规定,R2为开集.,又比如,E如图,若E不包含边界,则E为开集.,若E包含边界,则E不是开集.,结论:非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都不是E的边界点.即E不含有E的边界点.,证:,必要性.设E为开集,XE,由开集定义知X为E的内点.故X不是E的边界点.,充分性.若E中每一点都不是E的边界点.,要证E为开集.,XE,由于X不是E的边界点.,故必存在X的一个邻域U(X,),在这个邻域U(X,)内或者全是E中的点.或者全都不是E中的点,两者必居其一.,由于XE,故后一情形不会发生.,因此,U(X,)内必全是E中的点.故XE0,即,EE0,所以E是开集.,5.连通集,设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.,如图,X,Y,E连通,从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.E中的点都可用折线连接.,例1,2中的D都是连通集.,如图,6.开区域(开域),设E是一平面点集.,比如,例1中D是开区域.,如图.,从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.,若E是连通的非空开集,则称E是开区域.,7.闭区域(闭域),若E是开域,记,称为闭区域.,如图.,易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.,(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.,8.设ER2,若存在r0,使EU(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.,易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中D是有界集,它是有界闭区域.,9.聚点.,设E是平面点集,X0是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称X0是E的一个聚点.,从几何上看,所谓X0是E的聚点是指在X0的附近聚集了无限多个E中的点.即,在X0的任意近傍都有无限多个E中的点.,如图,1.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有E中一个异于X0的点.则称X0为E的一个聚点.(自证).,2.E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.,3.E的内点一定是E的聚点.,4.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.,即,区域中的任一点都是该区域,的聚点.,邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（4）n维空间,实数x,数轴点.,数组(x,y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x,y)全体表示平面(二维空间),数组(x,y,z),空间点,(x,y,z)全体表示空间(三维空间),推广：,n维数组(x1,x2,xn),全体称为n维空间，记为,n维空间中两点间距离公式,设两点为,特殊地，当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,n维空间中邻域概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,（5）二元函数的定义,回忆,点集D-定义域，,-值域.,x、y-自变量，z-因变量.,类似地可定义三元及三元以上函数,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例1求的定义域,解,所求定义域为,（6）二元函数的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,2二元函数的极限,回忆一元函数的极限.设y=f(x),当x不论是从x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数A.,表示,如图,就是0,0.,当0|xx0|时,有|f(x)A|0,当,对应的函数值满足,|f(X)A|0，P0的去心邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,例2求证,证,当时，,原结论成立,注意：是指P以任何方式趋于P0.,一元中,多元中,确定极限不存在的方法：,例3设,解,但取,其值随k的不同而变化。,不存在,故,例4求,解,例5求极限,解,其中,注1.定义1中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证X0的任意近傍总有点X使得f(X)存在,进而才有可能判断|f(X)A|是否小于的问题.,若D是一区域.则只须要求,就可保证X0是D的一个聚点.,另外,0|XX0|0,时,有|f(x,y)0|0,使得当,要使|f(x,y)0|,只须,即,|f(x,y)0|,故,例7.设f(x,y)=,证明f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.,证:由注2知,只须证明当X沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.,考察X=(x,y)沿平面直线y=kx趋于(0,0)的情形.,如图,对应函数值,从而,当X=(x,y)沿y=kx趋于(0,0)时,函数极限,当k不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.,请考察当X=(x,y)沿x轴,沿y轴趋于(0,0)的情形.,沿x轴,y=0.函数极限,=0,沿y轴,x=0.函数极限,=0,但不能由此断定该二重极限为0(注2).,二多元函数的极限,说明：）上述极限又称重极限或全极限，它与后面讲的逐次极限或累次极限不同；,2.多元函数极限的性质,性质（四则运算）与一元函数运算相同,除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。,三.累次极限:,前面讲了以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限，对于两个自变量依一定次序趋于时的极限，称为累次极限。,对于二元函数在的累次极限由两个和,二重极限与累次极限的关系:（）两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改它们的次序。,（）两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在,（）二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.,（4）二重极限极限,和累次极限,(或另一次序)都存在,则必相等.,（5）累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在，则它们必相等,第9章多元函数的极限与连续,3二元函数的连续性,定义2,多元函数的连续性,设z=f(X)=f(x,y),在区域D上有定义.,则称f(X)在X0连续,X0称为f(X)的连续点.,否则称f(X)在X0间断,X0称为f(X)的间断点.,X=(x,y)D,X0=(x0,y0)D,若f(X)在D上每一点都连续,则称f(X)在D上连续,记为f(X)C(D).,易知,例2中f(x,y)在(0,0)间断(极限不存在),每一点都间断.,注,1.二元函数f(X)在X0连续必须满足三个条件.在X0有定义,在X0的极限存在,两者相等,2.多元连续函数的和,差,积,商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.,定义可推广到三元以上函数中去.,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,连续函数性质：,（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为）都是连续函数；,例1求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,例2,解,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当时,例4讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,3.多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.,所谓多元初等函数是指以x,y,z,为自变量的基本初等函数f(x),(y),g(z),以及常函数,经有限次四则运算和复合所构成的函数.,如f(x)=exysin(x2+y),=e0sin0=0.,4.二元连续函数的几何意义:,定义在区域D上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有空洞,没有裂缝的连续曲面.,这里条件D是一区域是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续曲面.,例.设D=(x,y)|x,y均为有理数R2.z=f(x,y)是定义在D上的,在D上恒等于1,在别的点上无定义的函数,即,f(x,y)=,1,当(x,y)D时,无定义,当(x,y)D时.,如图,可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意义下的连续曲面.,有界闭区域上二元连续函数的性质,性质1.,性质2.,P.105习题6,6.若在某一区域内对变量为连续，对变量满足李普希兹条件，即对任何有其中为常数，则此函数在内连续。,证明,因为对变量连续，所以,使得当时，,取,当时，,小结,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,多元函数的定义,第9章多元函数微分学,1可微性,2复合函数微分法,3方向导数与梯度,4泰勒公式与极值问题,第9章多元函数微分学,1可微性,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,全增量的概念,全微分的定义,事实上,二、偏导数的定义及其计算法,函数对x的偏增量,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。,只要把x之外的其他自变量暂时看成,常量，对x求导数即可。,只要把y之外的其他自变量暂时看成,常量，对y求导数即可。,其它情况类似。,解,把y看成常量,把x看成常量,解,把y看成常量,把x看成常量,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,于是，,考虑点(0,0)对x的偏导数，,于是，,考虑点(0,0)对x的偏导数，,解,y、z看成常量,x、y看成常量,、偏导数存在与连续的关系,但函数在该点处并不连续.,一元函数中在某点可导,多元函数中在某点偏导数存在,连续。,连续。,？,4、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,三、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在,多元函数的各偏导数存在,例如，,？,微分存在,全微分存在,则,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。,证,（依偏导数的连续性）,同理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,解,(2,1)处的全微分,它们均连续。因此，函数可微分。,解,解,所求全微分,证（1）,令,多元函数连续、可导、可微的关系,四可微性的几何意义与应用,切平面的定义,一元函数可微性，在几何上反映为曲线存在不平性于Y轴的切线，二元函数可微性的几何意义则反映的是曲面与其切平面的类似关系.,定义（切平面）设P是曲面S上一点，H为通过P的一个平面，曲面S上的动点Q到P和到平面H的距离分别为d和h，当Q在S上以任何方式趋于P时，恒有，则称平面H为曲面S在点P处的切平面，P为切点.,1设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,2空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,由公式得,解,设黄铜的比重为,圆柱体的体积为,五、小结,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,（偏增量比的极限）,、偏导数的定义；,、偏导数的定义，偏导数的几何意义；,思考题,思考题解答,不能.,例如,第9章多元函数微分学,3方向导数与梯度,方向导数与梯度,偏导数是方向导数吗？,偏导数是方向导数吗？,偏导数是方向导数吗？,偏导数是方向导数吗？,例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一问题的提出,方向导数图示,讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题,A,B,C,中,x,O,y,z,.,P0,P,l,沿,方向的方向导数,.,二、方向导数的定义,设函数,在,内有定义。,若点,沿射线l趋于,时,极限,存在，则称该极限值为函数,在点,处沿l方向的方向导数。记为,或,利用直线方程可将方向导数的定义,表示为:,射线l的方程为,则,故,比较方向导数与偏导数的概念,在方向导数中，分母,；,在偏导数中，分母,、,可正、可负。,即使l的方向与x轴,y轴的正方向一致时，,方向导数与偏导数的概念也是不同的。,方向导数与偏导数是两个不同的概念,想一想，为什么？,怎么计算方向导数？,看看三维空间的情形,定理(方向导数导计算公式),若函数,在点,处可微，,则函数,在点,处,沿任一方向,的方,向导数存在，且,其中,各导数均为在点,处的值。,运用向量的数量积，可将方向,导数计算公式表示为：,其中，,称为梯度,在,中,在,中,可统一表示为,设,求函数在点,沿方向,的方向导数。,解,例,由点,到坐标原点的距离定,义的函数,在坐标原点处,的两个偏导数均不存在，但它在该点,沿任何方向的方向导数均存在，且方,向导数值都等于1：,想一想，该例给你什么启示,函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。,方向导数存在时，偏导数不一定存在。,例,三,、,梯度,一个问题：,在给定点,沿什么方向增加得最快？,该问题仅在,不同时为零才有意义。,可微函数,由前面的推导，有,现在正式给出,的定义,gradu,由此可得出什么结论？,方向导数等于梯度在此方向上的投影,定义,设,则称向量,为函数,在点,处的梯度，记为,或,梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。,以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。,梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。,以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。,在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,设,求,并求在,点,处方向导数的最大(小)值。,解,从而,例1,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,三、小结,1方向导数的概念,2梯度的概念,3方向导数与梯度的关系,（注意梯度是一个向量）,四小结,1方向导数是一个数值，在任何方向上都存在；,2梯度是一个向量，只有方向导数存在时，梯度才存在。,3方向导数与一般所说偏导数的无区别）,五思考判断题,第9章多元函数微分学,3方向导数与梯度,方向导数与梯度,偏导数是方向导数吗？,偏导数是方向导数吗？,偏导数是方向导数吗？,偏导数是方向导数吗？,例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一问题的提出,方向导数图示,讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题,A,B,C,中,x,O,y,z,.,P0,P,l,沿,方向的方向导数,.,二、方向导数的定义,设函数,在,内有定义。,若点,沿射线l趋于,时,极限,存在，则称该极限值为函数,在点,处沿l方向的方向导数。记为,或,利用直线方程可将方向导数的定义,表示为:,射线l的方程为,则,故,比较方向导数与偏导数的概念,在方向导数中，分母,；,在偏导数中，分母,、,可正、可负。,即使l的方向与x轴,y轴的正方向一致时，,方向导数与偏导数的概念也是不同的。,方向导数与偏导数是两个不同的概念,想一想，为什么？,怎么计算方向导数？,看看三维空间的情形,定理(方向导数导计算公式),若函数,在点,处可微，,则函数,在点,处,沿任一方向,的方,向导数存在，且,其中,各导数均为在点,处的值。,运用向量的数量积，可将方向,导数计算公式表示为：,其中，,称为梯度,在,中,在,中,可统一表示为,设,求函数在点,沿方向,的方向导数。,解,例,由点,到坐标原点的距离定,义的函数,在坐标原点处,的两个偏导数均不存在，但它在该点,沿任何方向的方向导数均存在，且方,向导数值都等于1：,想一想，该例给你什么启示,函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。,方向导数存在时，偏导数不一定存在。,例,三,、,梯度,一个问题：,在给定点,沿什么方向增加得最快？,该问题仅在,不同时为零才有意义。,可微函数,由前面的推导，有,现在正式给出,的定义,gradu,由此可得出什么结论？,方向导数等于梯度在此方向上的投影,定义,设,则称向量,为函数,在点,处的梯度，记为,或,梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。,以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。,梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。,以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。,在几何上表示一个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,设,求,并求在,点,处方向导数的最大(小)值。,解,从而,例1,解,由梯度计算公式得,故,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,（注意梯度是一个向量）,三、小结,1方向导数的概念,2梯度的概念,3方向导数与梯度的关系,（注意梯度是一个向量）,四小结,1方向导数是一个数值，在任何方向上都存在；,2梯度是一个向量，只有方向导数存在时，梯度才存在。,3方向导数与一般所说偏导数的无区别）,五思考判断题,第9章多元函数微分学,4泰勒公式与极值问题,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,一、高阶偏导数,解,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,解,问题：,混合偏导数都相等