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文档简介

数学与统计学院,数值方法,武汉大学数学与统计学院基础数学系,刘丁酉liudingyou487,主页,9常微分方程初值问题的数值解法,9.1引言9.2简单数值方法9.3Runge-Kutta方法9.4单步法的相容性、收敛性和绝对稳定性9.5线性多步法9.6线性多步法的相容性、收敛性和绝对稳定性9.7误差控制与变步长9.8一阶方程组与刚性方程组,数学与统计学院,9.1引言,在讨论一般的微分方程组初值问题之前，先引入一些基本概念.,定义9.1.1设函数在上有定义，如果存在一个常数L使得,则称关于变量y满足Lipschitz条件，L称为f的Lipschitz常数.,定义9.1.2设集合，若对任意的两点,均有,则称D为一个凸集.,数学与统计学院,考虑一阶常微分方程的初值问题,定理9.1.1设在凸集有定义，如果存在常数L使得,则在D上关于变量y满足Lipschitz条件，L为Lipschitz常数.,数学与统计学院,定义9.1.3如果初值问题满足下面两个条件，则称初值问题是适定的.,(1)存在唯一解y(x).,(2)对于任给的，存在正数，使得当，在上连续并且时，初值问题,存在唯一的解z(x)，并满足,定义9.1.4设在D上连续，并对变量y满足Lipschitz条件，那么初值问题是适定的.,数学与统计学院,9.2简单数值方法,9.2.1显式Euler方法9.2.2隐式Euler方法9.2.3梯形方法9.2.4预估-校正方法9.2.5单步方法的截断误差,数学与统计学院,9.2.1显式Euler方法,数学与统计学院,数学与统计学院,9.2.2隐式Euler方法,数学与统计学院,9.2.3梯形方法,数学与统计学院,9.2.4预估-校正方法,数学与统计学院,数学与统计学院,例9.1.1设初值问题,试分别用Euler和改进Euler法求解，并与精确解进行比较.,数学与统计学院,数学与统计学院,数学与统计学院,9.2.5单步方法的截断误差,数学与统计学院,定义9.2.1从初值出发，由单步法显式或隐式逐步计算，得的值，则称为在点上的整体截断误差.如果第n步在点的值计算没有误差，即，由单步法计算出则称为点上的局部截断误差.,数学与统计学院,定义9.2.2如果给定的算法的截断误差为则称该算法具有p阶精
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