第七节-常系数非齐次线性微分方程

,常系数非齐次线性微分方程,第七节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,问题:如何求方程的一个特解y*？,例如：求非齐次方程,的通解,解：对应的齐次方程为,齐次方程的通解为,通过观察和直接验算可知,是原方程的一个特解。,所以方程的通解为：,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式.,Q(x)为m次待定系数多项式,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,即,即,其中：是常数，,对应齐次方程的特征方程：,综上讨论，方程的特解总可设为,其中：,可用待定系数法确定。,小结,特别地,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程,其中：是常数，,对应齐次方程的特征方程：,其中：,可用待定系数法确定。,方程的特解可设为,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例3.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,设的特解为,设的特解为,则所求特解为,（重根）,代入方程,得,原方程通解为,解对积分方程两边求导,再求导得,初始条件为,特征方程为,特征根为,由于,不是特征根，,对应齐次方程的通解：,故设特解为,代入原方程并化简得,再代入初始条件可得,二、,第二步求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将f(x)转化为,第三步利用叠加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特点,利用欧拉公式将f(x)变形,第一步,第二步求如下两方程的特解,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程的特解.,设,则有,特解:,第三步求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为m次多项式.,第四步分析,因,均为m次实,多项式.,本质上为实函数,小结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例6.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,（复数法求解）,的通解.,例6.,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,例7.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例8.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,内容小结,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,3.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解