流体力学第四章B4--积分形式的基本方程

1,B4积分形式的基本方程,2,系统-包含确定流体介质的集合,无质量交换有能量交换,系统的质量,系统的动量,系统的动量距,是单位体积的物理量,系统的体积,控制体-流体流过的固定边界包含的体积,控制面-固定边界构成的面,有质量交换有能量交换,引言,3,系统广延量,控制体广延量,B4.1流体系统的随体导数,输运公式,系统广延量的导数，称为系统导数。,控制体广延量随时间变化率,称为当地变化率；当流场定常时为零。,通过控制面净流出的广延量流量,称为迁移变化率；当流场均匀时为零。,输运公式计算取决于控制体(面)的选择,4,t时刻界面S，体积,体积(t+t),t+t时刻界面S,5,6,高斯公式,输运公式,7,物理量流量,S1,S2,动坐标系的输运公式,8,输运公式,系统质量的随体导数,系统动量的随体导数,系统体积的随体导数,9,B4.2积分形式的连续性方程,B4.2.1固体的控制体,上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。,输运公式可用于任何分布函数，如密度分布、动量分布、能量分布等。,令，由系统的质量不变可得连续性方程,对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为,10,系统质量的随体导数,质量流量,连续性方程,高斯公式,质量流量,11,流进面1,流出面2,1.沿流管的定常流动,12,流进面1,流出面2,1.沿流管的定常流动,13,设出入口截面上的质流量大小为,1.沿流管的定常流动,一般式,有多个出入口,2.沿流管的不可压缩流动,设出入口截面上的体积流量大小为,一般式,有多个出入口,14,例B4.2.1主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,已知:所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6l/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q5=0.78Q1,求：Q2及各管的平均速度,解：取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理,可得,Q1=Q2+Q3+Q4+Q5,Q2=Q1(Q3+Q4+Q5）=Q1(0.07+0.04+0.78)Q=0.11Q1=0.66l/min,15,各管的平均速度为,例B4.2.1主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程,Q1=6l/min,1升=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米,16,B4.2.2运动的控制体,将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr,对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时,上式中，vr分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。,17,例B4.2.1b变水位孔口出流：随时间变化的控制体,已知圆柱型水箱,D=1m,d=0.1m,放水前水深H=1m,假设孔口出流速度为v2=2gh?,h(t)为任意时刻的水深。,求孔口打开至水放空所需时间T,放空h=0,18,例B4.2.2圆管入口段流动：速度廓线变化,已知:不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓线,不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。,求：充分发展流动的速度廓线表达式,解：设充分发展流动的速度廓线为指数形式,式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取n=1/7-1/10.由连续性方程:,(b)式左端=R2U,(b)式右端=,(b),(a),19,例B4.2.2圆管入口段流动：速度廓线变化,由积分公式可得,取n=1/7时,由(b)式可得,20,B4.3伯努利方程及其应用,伯努利方程的推导：由一维欧拉运动方程沿流线积分,伯努利方程的限制条件：,(3)定常流动,伯努利（D.Bernouli17001782）方程的提出和意义,(2)不可压缩流体,(1)无粘性流体,(4)只有重力,21,加速度的变体,22,23,欧拉方程可化为葛罗米柯方程（欧拉方程的另一种形式）：,葛罗米柯方程,P压力函数,W势函数,24,理想流体微分方程的积分,恒定流时,葛罗米柯方程方程可化为：,流线切线方向,沿流线,伯努利方程,25,K=0,伯努力方程,P压力函数,W势函数,伯努力方程化为,当质量力只有重力时，对理想、不可压缩定常流体有伯努利方程,26,行列式为零的情况,静止流体：，得到静力学基本方程,无旋流动：,流线：,涡线：,螺旋运动?：,无旋流动伯努利方程处处成立,27,流线方向的速度压强关系,切向加速度,几何关系,定常流动,28,元流伯努利方程的应用毕托管测速仪,滞止点（驻点）1：速度为零，压力最大,为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于1。,实际流速,h1,29,等压面，pM=pN,例B4.3.1毕托测速管,30,已知:设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为,U形管中液体密度m.,求：用液位差h表示流速v,例B4.3.1毕托测速管,AOB线是一条流线(常称为零流线),k称为毕托管系数。,总压=静压+动压,31,B4.3.2沿总流的伯努利方程,单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒,常数(沿流线法线方向),2.理想流体沿总流的伯努利方程,上式中V为总流截面上的平均速度，为动能修正因子（通常取）,实际流体的总流伯努力方程：,32,流线主法线方向的速度压强关系,向心加速度,几何关系,渐变流动,p+z垂直于流线的断面上不变,忽略重力,pout,pin,33,恒定总流伯努利方程,渐变流及其性质,均匀流的流线是相互平行的直线，过流断面是平面。许多流动情况虽然不是严格的均匀流，但接近于均匀流，这种流动称为渐变流动。渐变流的流线近乎平行直线，流速沿流向变化小，可忽略不计，过流断面可认为是平面。,34,考虑粘性效应的伯努力方程,35,总流伯努力方程,总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得到,式中包含三类积分：,（a）势能积分,取渐变流断面，则：,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,36,引入断面平均流速及动能修正系数,取决于断面上流速的分布，通常取,（c）损失积分,引入来表示单位时间单位重量流体由1-1断面到2-2断面的平均机械能损失，称为总流水头损失,（b）动能流量,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,37,将上述三类积分带入原积分式，则得到总流伯努力方程：,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,38,总流伯努力方程的适用条件,恒定流；不可压缩流体；质量力只有重力；渐变流过流断面；无分流和合流；无能量的输入输出。,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,有能量输入或输出的伯努利方程,39,总流伯努力方程的意义,总流伯努力方程的几何意义和物理意义在“平均”的意义下同元流伯努力方程相同，即：,各项分别代表总流过流断面上某点单位重量流体的势能、压能及动能；,代表单位重量流体由1-1断面到2-2断面的平均机械损失，称为总流水头损失。,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,40,总流伯努力方程的几何表示,水力坡度定义,理想流体：，总水头线沿程不变；,实际流体：，总水头线沿程下降。,测压管水头线Hp坡度,41,水头损失hl,总流伯努力方程的几何表示,水力坡度定义,测压管水头线Hp坡度,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,42,例B4.3.1小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,已知:图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.,求：(1)出流速度v,(2)出流流量Q,从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程,43,例B4.3.1小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,讨论1：,(b)式称为托里拆里(ETomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。,(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为Ae,缩颈系数,小孔出流量,液面的速度可近似取为零v1=0，液面和孔口外均为大气压强p1=p2=pa=0(表压)，由(a)式可得,44,例B4.3.1小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应,收缩系数与孔口边缘状况有关：,实际孔口出流应乘上一修正系数k1,上式中=k,称为流量修正系数，由实验测定。,内伸管=0.5,流线型圆弧边=1.0.,锐角边=0.61,45,例B4.3.1-b三角堰流量计,微元bdz面上的速度,微元条的宽度b,通过微元条的流量dQ,流量Q,z,46,z,例B4.3.4U形管振荡,初始时刻，液位差2h,然后在重力作用下振荡，求振荡方程,v1=v2=v(t),p1=p2=pa,z1=-z;z2=z,47,流线主法线方向的速度压强关系,向心加速度,几何关系,渐变流动,p+z垂直于流线的断面上不变,忽略重力,pout,pin,48,B4.3.2沿总流的伯努利方程,单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒,常数(沿流线法线方向),2.理想流体沿总流的伯努利方程,上式中V为总流截面上的平均速度，为动能修正因子（通常取）,实际流体的总流伯努力方程：,49,沿流束的水头形式,常数,沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程,B4.3.4不定常伯努利方程,沿流线从位置1积分到位置2,(沿流束),50,水头损失hl,总流伯努力方程的几何表示,水力坡度定义,测压管水头线Hp坡度,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,51,元流伯努利方程的应用毕托管测速仪,滞止点（驻点）1：速度为零，压力最大,为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于1。,实际流速,h1,52,已知:设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为,U形管中液体密度m.,求：用液位差h表示流速v,例B4.3.1毕托测速管,AOB线是一条流线(常称为零流线),k称为毕托管系数。,总压=静压+动压,53,【例4.3.2】总流伯努力方程的应用文丘里流量计,由渐缩、喉管、渐扩三段组成。,进口直径d1=100mm，喉管直径d2=50mm，测压管水头差h=0.6m或水银差压计液面差hm=4.76cm），流量系数=0.98，试求输水流量。,54,z=za-zb,液柱式测压计,55,等压面，pM=pN,U型管压差计用于测量两点的压强差或测压管水头差,56,1.取基准面0-0；,2.取计算断面1-1，2-2；,伯努利方程,连续性方程,57,K文丘里管系数,考虑到水头损失的影响，引入流量修正系数,K取决于流量计的结构尺寸,58,流体系统的动量方程,流过控制面A的动量流量=合外力,流体系统的动量输送公式,定常流,B4.4积分形式的动量方程及其应用,59,流进面1,流出面2,60,平均流速,动量修正系数,取决于断面流速分布的不均匀性，一般=1.051.02，仅当等速流=1；通常取=1。,定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。,61,动量流量,考虑到,动量力,62,若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为,流过控制面A的动量流量=合外力,对不可压缩流体：,63,动量方程的求解,动量方程为矢量方程，求解时可写成在直角坐标系中的分量式：,64,有分流时动量方程的求解,有分流的动量方程,1-2(1-3)断面间的伯努利方程,有分流的连续性方程,65,【例】水平输水弯管。直径由D1经=转角变为D2;转弯前断面的表压强p1，输水流量Q，不计水头损失，求水流对弯管的作用力。,表压强？,表压强,66,水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反,67,【例】水平方向的射流。流量Q，击板流速v;水流在大气中冲击光滑平板，射流轴线与平板夹角为；求射流对平板的作用力；分流的流量,68,有分流的动量方程,射流对平板的作用力等于平板对射流的作用力，方向相反,69,【例】分岔管。干管直径D1，分岔角，支管直径D2=D3，分岔前断面的压强p1，总流量Q;不计水头损失，求水流对分岔管的作用力。,有分流的动量方程,水流对管的作用力与管对水流的作用力大小相等方向相反,70,【例】水平射流。狭缝出口流速为v，流量为Q，射流冲击到与其成2角的光滑壁面上。若不计水流与壁面的摩擦，求水流对壁面的作用力。,v=v1=v2=v3,于是上式为,有分流的动量方程,列1-2(1-3)断面间的伯努利方程,71,水流对壁面的作用力为,=60时，,=90时，,=180时，,72,例B4.4.1D,出口处x=L，速度为抛物线方程，截面平均压强pL,管壁对空气的摩擦阻力,D=2R,73,um管轴处最大流速,圆管过流断面上的流速分布公式,流量,平均流速,抛物线方程,例B4.4.1D,74,例B4.4.1D,出口处x=L，速度为抛物线方程，截面平均压强pL,假设管壁上的粘性切应力为(x)?,求压强损失系数Cp,D=2R,75,定常时,坐标系固定在匀速运动的控制体上,是相对速度),输运公式为,有多个一维出入口时,为作用在控制体上的合外力,B4.4.2匀速运动控制体,76,例B4.4.2,动量方程,忽略重力,求射流对运动导片的冲击力,77,作业：4-2-6，4-3-3，4-3-4，4-4-34-4-94-5-1,第四章流体动力学基本方程,78,B4.5积分形式的动量矩方程,按动量矩定律和输运公式，设为绝对速度，为合外力矩，有,欧拉涡轮机方程(转子平面投影式）,轴功率表达式,79,B4.5积分形式的动量矩方程,质量m的刚体具有的动量矩,单位体积的流体具有的动量矩,流体系统具有的动量矩,流体系统的动量矩方程,动量矩方程,动量矩对时间的变化率=流体所受的合外力矩,80,流体系统的动量矩输送公式,流过控制面A的动量矩流量=转轴产生的力矩,定常,外力矩仅考虑轴距,质量力和压力是小量,动量矩方程,定常,81,欧拉涡轮机方程(转子平面投影式）,流量,82,欧拉涡轮机方程(转子平面投影式）,轴功率表达式,水泵输出功率与流量Q和扬程H的关系,牵连速度,k是水泵输出功率的效率系数,有能量输入或输出的伯努利方程,83,求：(1)输入轴矩Ts,例B4.5.1混流式离心泵：固定控制体动量矩方程,已知:一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm,n=4000转/分，=3m/s。,(2)输入轴功率,设流动是定常的，由连续性方程可得,84,例B4.5.1混流式离心泵：固定控制体动量矩方程,V1=0,由欧拉涡轮机方程,输入功率为,叶轮旋转角速度为,=2n/60=24000/60=418.88(1/s),出口切向速度为,V2=R2=d2/2=418.880.1/2=20.94(m/s),85,对于恒定不可压缩且质量力只有重力的渐变流动,即在渐变流过流断面上，压强分布可认为服从于流体静力学规律。,p/+z在渐变流的过流断面上不变?,86,固定不变形的控制体CV,控制面为CS,设=v,流体系统动量,B4.4积分形式的动量方程及其应用,由牛顿第二定律,F为作用在流体系统上的所有外力之合力,由输运公式可得,87,B4.4积分形式的动量方程及其应用,对固定控制体的流体动量方程为,v为绝对速度。定常流动时,上式表明:作用在固定控制体上的合外力,从控制面上净流出的动量流量,88,沿流管的定常流动,通常取1=2=1。由一维定常流动连续性方程,可得一维定常流动动量方程,CS=流管侧面+A1+A2,89,具有多个一维出入口的控制体,注意:(1)控制体的选取,(2)或代表流出平均速度矢量,或代表流入平均速度矢量,(3)动量方程中的负号是方程本身具有的,和在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关,(4)包含所有外力(大气压强见例B4.4.1).,90,例B4.4.1A主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程,已知:图示人主动脉弓,条件及所取控制体CV均与例B4.2.1相同,设血液的密度为=1055kg/m3,解：建立坐标系oxy如图所示,求：从控制体净流出的动量流量,91,例B4.4.1A主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程,(mV)y=Q1(0.11V2cos16+0.07V3cos6+0.04V4cos23-0.78V5-V1),=-0.039N,(mV)x=Q1(0.11V2sin16+0.07V3sin6+0.04V4sin23),净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为,=-1104N,92,例B4.4.1B弯曲喷管受力分析：压强合力的影响,已知:设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，,求：(1)水流对喷管的作用力F的表达式,(2)若=30,求水流对喷管的作用力,解：1.只包含水流的控制体,2.建立如图所示坐标系oxy。,3.由一维不可压缩流体连续性方程,93,4.由伯努利方程,因p3=0,p0=395332.85pa,5.由一维定常流动动量方程,设水对喷管的作用力F如图所示。本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力F和压强合力。作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p0，方向沿x轴正向；出口截面压强为零：,(1)F的表达式为,(2)设=30,F在x,y方向的分量式为,94,95,当控制体固结于匀速旋转的转子上时(忽略重力和表面力)，动量矩方程为,向心加速度,B4.5.2旋转的控制体,柯氏加速度,9