数学分析课件第五章--再论实数与连续函数

第五章再论实数与连续函数,1实数集合的上下确界,上确界定义.设.若存在,使得则称为有上界的集合,称为的一个上界.一个集合的最小上界,称为的上确界,记作.例如:,上确界,定义.设,若存在,使得,则称,为有上界的集合,称为,的一个,上界.,注.上确界满足(1)是的一个上界,(2)对的任何一个上界,.注.可能在中,也可能不在中.若,则它是最大元素.反之,若一个集合有最大元素,则最大元素一定是上确界.命题.若,则.,命题1.1.设有上界.则的充要条件是:是的一个上界,且,使得命题1.2.设有上界.则的充要条件是:是的一个上界,且存在,使得例1.,2.下确界定义.设.若存在,使得则称为有下界的集合,称为的一个下界.一个集合的最大下界,称为的下确界,记作.例如:,注.下确界满足(1)是的一个下界,(2)对的任何一个下界,.注.可能在中,也可能不在中.若,则它是最小元素.反之,若一个集合有最小元素,则最小元素一定是下确界.命题.若,则.,命题1.3.设有下界.则的充要条件是:是的一个下界,且,使得命题1.4.设有下界.则的充要条件是:是的一个下界,且存在,使得,3.存在性定理定理1.1.若是非空有上界的集合,则的上确界存在.命题.设,记.若是有上界的集合,则有下界,且(2)若是有下界的集合,则有上界,且定理1.2.若是非空有下界的集合,则的下确界存在.,定义.若既有上界又有下界,则称是有界的.定理.非空有上(下)界集合的上(下)确界唯一.,4.函数值的振幅设在一个区间(开或闭)中为有界函数,则是有界集合.记称为在上的振幅.,注.若在中有最大值与最小值,则最大值最小值.思考题.定义.设.令这个极限总存在,称为在的振幅.,定理1.3.设在的某个邻域有界.则在连续的充要条件是:,2上下极限与Cauchy收敛原理,1.序列情形设有界,令显然,递减,递增,故极限总存在,我们称之为的上极限,下极限.记作,注.例1.设,求上下极限.例2.设,求上下极限.定理2.1.设有界.则有极限的充要条件是,定理2.2.收敛的充要条件是:存在自然数，使得当时,注.定理中条件称为Cauchy条件.定义.若存在自然数,使得当时,则称是基本列.,等价定义.若存在自然数,使得当时,对任意的自然数,则称是基本列.例1.设证明:收敛.例2.设证明:发散.,2.当时函数的上下极限与Cauchy收敛原理设在的空心邻域内有界.令当减小时,递减,递增,这样总存在,称为当时的上极限,称为当时的下极限.,记作或或.注.,定理2.3.设在的一个空心邻域有界.则存在的充要条件是:定理2.4.存在的充要条件是:存在,当,时,注.将换成,有类似结论.,定理2.5.存在的充要条件是:当,时,注.将换成,有类似结论.,3.实数域的完备性单调有界有极限区间套定理有界序列有极限上下确界存在定理Cauchy收敛原理都是对实数域完备性的刻画,只不过角度不同,形式不同.可以证明它们彼此等价.,4.上下极限的性质引理.(1)若,则,当时,并且在中有无穷多项属于.(2)若,则,当时,并且在中有无穷多项属于.,定理.的充要条件是(1)存在,使得;(2)对任一收敛子列,.的充要条件是(1)存在,使得;(2)对任一收敛子列,.,注.上极限是收敛子列的极限值中最大的.下极限是收敛子列的极限值中最小的.,定理.的充要条件是,使得.(2)对任意的,若存在,则.,的充要条件是,使得.(2)对任意的,若存在,则.,3闭区间上连续函数的一致连续性,1.一致连续的定义问题:设在区间上连续.,是否存在,使得长度为的任意区间,都有.例1.,讨论上述问题.例2.,讨论上述问题.,定义.设在区间中有定义.如果,使得,都有,只要那么就称在一致连续注.若在一致连续,则在连续.,命题3.1.设在区间有界.则在一致连续的充要条是:,使得对任意闭子区间,都有,只要,其中表示区间的长度.,2.闭区间上连续函数的一致连续性定理3.1.闭区间上连续函数是一致连续的.,设,又设是由开区间组成的集合,其中是下标组成的集合.如果即,使得,那么称是的一个开覆盖.,例.(1)(2)