高等数学方明亮版课件常系数非齐次线性微分方程

2020年5月30日星期六,1,第八节常系数非齐次线性微分方程,第十一章,(Constantcoefficientnon-homogeneouslineardifferentialequation),三、欧拉方程,一、,四、小结与思考练习,二、,2020年5月30日星期六,2,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,2020年5月30日星期六,3,一、,为实数,为m次多项式.,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q(x)为m次待定系数多项式,2020年5月30日星期六,4,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,特解,2020年5月30日星期六,5,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例1,（补充题）,（自行练习课本例1）,2020年5月30日星期六,6,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例2,（补充题）,（自学课本例2）,2020年5月30日星期六,7,二、,第二步求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将f(x)转化为,第三步利用叠加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特点,2020年5月30日星期六,8,利用欧拉公式将f(x)变形,第一步,2020年5月30日星期六,9,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程的特解.,设,则有,特解:,第二步求如下两方程的特解,2020年5月30日星期六,10,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为m次多项式.,第三步求原方程的特解,2020年5月30日星期六,11,因,均为m次实,多项式.,本质上为实函数,第四步分析,2020年5月30日星期六,12,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,小结:,2020年5月30日星期六,13,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例3,2020年5月30日星期六,14,三、欧拉方程（Eulerequation）,形如,的方程，,叫做欧拉方程。,求解基本思想,欧拉方程,常系数线性微分方程,2020年5月30日星期六,15,则,计算繁!,欧拉方程的算子解法:,2020年5月30日星期六,16,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,2020年5月30日星期六,17,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,例4,（自行练习例4）,补充题,2020年5月30日星期六,18,的通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,2020年5月30日星期六,19,例5,（补充题）,解:由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得A1,2020年5月30日星期六,20,利用初始条件得,故所求特解为,得通解为,2020年5月30日星期六,21,内容小结,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,3.欧拉方程,2020年5月30日星期六,22,课外练习,习题1181（奇数题）；2；4,思考练习,时可设特解为,时可设特解为,1.(填空)设,提示:,2020年5月30日星期六,23,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,2.求微分方程,2020年5月30日星期六,24,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方