常微分方程第三章-4

戴滨林E-mail：bldai,办公室：数学系404办公室电话：65904529,常微分方程,Ordinarydifferentialequation,王高雄周之铭朱思铭王寿松编（第三版）,电子课件,第三章解的延拓定理,第三章解的延拓定理/Theoremonextensionofsolution/,3.4奇解,3.4奇解,包络和奇解,克莱罗方程（ClairantEquation）,本节要求：了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。,主要内容,一、包络和奇解,1包络的定义,定义1：对于给定的一个单参数曲线族：,曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线,它本身不包含在,曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切.,对于给定的一个单参数曲线族：,其中,为参数.,若存在一条曲线,满足下列条件:,(1),(2)对任意的,存在唯一的,使得,且,与,在,有相同的切线.,则称,为曲线族,的一条包络线,简称为包络.,或定义：,例如,单参数曲线族：,（其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半径等于R的一族圆.如图,R,从图形可见,此曲线族的包络显然为:,注:并不是每个曲线族都有包络.,例如:单参数曲线族:,(其中c为参数)表示一族同心圆.,如图,从图形可见,此曲线族没有包络.,问题:对于给定的单参数曲线族:,如何判断它是否有包络?,如果有包络,如何求?,根据定义,假设该单参数曲线族有包络,则对任意的,存在唯一的,使得,于是得到对应关系:,从而得到二元函数,使得,若,可用参数形式表示为:,记,则,于是,上任取一个固定点M,则M在某一条曲线,上.,由于,与,在M点有相同的切线,而,与,在M点的切线的斜率,分别为,与,所以,有,从而,由于在,上不同的点也在不同的,上,即,因此,现在,因此,包络线,任意一点M不仅要满足,而且还要满足,把联立方程组:,中消去参数c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲线,称为曲线族,的c-判别曲线,2包络的求法,曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程,注:,解:,记,则,即,因此c-判别曲线包括两条曲线(3.32)和(3.33),x,y,O,例2:,求直线族:,的包络.,这里,是参数,是常数.,解:,记,则,消去参数,得,的c-判别曲线:,经验证,是曲线族,的包络.,如图:,O,x,y,一包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,3奇解,定义2:,微分方程的某一解称为奇解,如果在这个解的每一点还有方程的另外一个解存在.,注:一阶微分方程的通解的包络一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包络.,例如:,4奇解的求法,方程,的奇解包含在由方程组,注:,例3:,求微分方程,的奇解.,解:,从,消去p(实际上p=0),得到p-判别曲线,即,由于方程的通解为:,三、克莱罗（Clairaut）方程,1定义3:,形如,的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.,为求它的解,令,得,经化简,得,2克莱罗(Clairaut)方程的求解,这是y已解出的一阶微分方程.,如果,则得到,于是,Clairaut方程的通解为:,如果,它与等式,联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:,或,其中c为参数.,消去参数p便得方程的一个解.,结果:,Clairaut方程,的通解,是一直线族,此直线族的包络,或,是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.,如果令,则,因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样.,易验证,此参数曲线恰为通解的包络,例4:,求解方程,解:,这是Clairaut方程,因而它有通解:,其中,因为,所以,从,中消去参数c,得到原方程的奇解:,x,y,O,如图:,故,此方程的通解是直线族:,而奇解是通解的包络:,3.4奇解,包络和奇解,克莱罗方程（ClairantEquation）,本节要求：了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。,主要内容,一包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,例单参数曲线族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。,二求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去C而得到的曲线中。,设由,能确定出曲线为,则,对参数C求导数,从而得到恒等式,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线L在其上每一点(x(C),y(C)处均与曲线族中对应于C的曲线相切。,注意：C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例1求直线族,的包络，这里是参数，p是常数。,解：,对参数求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,例2求直线族,的包络，这里c是参数。,解：,对参数c求导数,联立,得,从得到,从得到,因此，C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验，是所求包络线。,2p-判别曲线,结论：方程的奇解包含在下列方程组,消去p而得到的曲线中。,注意：p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例3求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而是方程的解，且正好是通解的包络。,例4求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意：以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,3克莱罗方程,形式,其中,是p的连续函数。,解法,通解,奇解,例5求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去c，得到奇解,从,例6求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。,解设要求的曲线为,过曲线任上一点的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截