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文档简介

数列极限是整个数学分析最重要的基础,1数列极限的概念,一、数列的定义,五、再论“-N”说法,四、按定义验证极限,三、收敛数列的定义,备知识.,为今后学习级数理论提供了极为丰富的准,之一,它不仅与函数极限密切相关，而且,返回,二、一个经典的例子,六、一些例子,为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,或简记为an.这里an,所以我们也将数列写成,称为数列an的通项.,一、数列的定义,二、一个经典的例子,样的过程可以无限制地进行下去.,我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：,这样就得到一个数列:,古代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用了,一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.它的,意思是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这,大而无限趋于0.,三、收敛数列的定义,下面给出严格的数学定义.,任意的正数,总存在正整数N,使当nN时,能无限地接近某个常数a,则称收敛于a.,记作,若不收敛,则称为发散数列.,注定义1这种陈述方式，俗称为“-N”说法.,四、按定义验证极限,以说明,希望大家对“-N”说法能有正确的认识.,所以,为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加,例2用定义验证,这就证明了,证,只要即可.,例3用定义验证,分析,证对于任意的正数,取,即得,注意解这个不等式是在的条件下进行的.,所以,因此证得,故对于任意正数,五、再论“-N”说法,从定义及上面的例题我们可以看出:,此外，又因是任意正数,所以,项与定数a的接近程度.显然正数愈小,表示an,与a接近的程度愈高；是任意的,这就表示an,与a可以任意接近.要注意，一旦给出，在接下,来计算N的过程中，它暂时看作是确定不变的.,定义1,那么对1自然也可以验证成立.,均可看作任意正数,故定义1中的不等式,2.N的相对性:从定义1中又可看出,随着的取值,不同,N当然也会不同.但这并不意味着N是由,再有,我们还可以限定小于某一个正数(比如,1).事实上,对0N时,有,求N的“最佳性”.,也就是说,在这里只是强调N的存在性,而不追,3.极限的几何意义,示当nN时,所有下标大于N的an全都落在邻域之内，,而在之外,an至多只有有限项(N项).,反过来,如果对于任意正数,落在之外至,多只有有限项,设这些项的最大下标为N,这就表,an的有限多项,则称数列an收敛于a.这样,an不以a为极限的定义也可陈述为:存在,之外含有an中的无限多,不以任何实数a为极限.,以上是定义1的等价说法,写成定义就是:,项.,注an无极限（即发散）的等价定义为:an,以下定理显然成立,请读者自证.,4.无穷小数列和无穷大数列,六、一些例子,证对于任意实数a,取,之外有无限多,例6证明,从而,证我们用两种方法来证明.,例7证明,1)任给正数,有项都能使不等式成立即可.,注这里我们将N取为正数,而非正整数.实际上,N只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所,没有定义.,可知只需取,
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