数学分析第四版华东师大版21章-重积分

重积分,二重积分三重积分n重积分,重积分,二元函数在R2中有界闭区域上的积分称为二重积分.三元函数在R3中有界闭区域上的积分称为三重积分.n元函数在Rn中有界闭区域上的积分称为n重积分.,二重积分,二重积分的实际背景求曲顶柱体的体积.,二重积分,二重积分,二重积分,二重积分,二重积分,与一元函数的定积分的情形相类似，我们可以建立二重积分的可积性理论。,二重积分的性质,二重积分的性质,二重积分的性质,二重积分的性质,二重积分的性质,二重积分的性质,二重积分的计算,二重积分的计算,证明,证明,证明,二重积分的计算,二重积分的计算,主要定理：,例题,解答,例题,解答,例题,解答,二重积分的计算,二重积分的计算,证明,证明,二重积分的计算,二重积分的计算,二重积分的计算,一般区域D上二重积分的计算，(1)首先应该正确地画出积分区域D的图像，然后写出直角坐标系下区域D的表示法，再转化为累次积分进行计算。(2)有时要注意选择合适的积分次序，并且根据积分区域的图形正确写出积分上、下限,例题,解答,解答,例题,解答,例题,解答,例题,解答,例题,证明,证明,第二种证明,第二种证明,第二种证明,例题,证明,证明,二重积分的计算(换元积分),二重积分的计算(换元积分),二重积分的计算(换元积分),二重积分的计算(换元积分),主要定理：变量替换公式,二重积分的计算(换元积分),证明,证明,证明,证明,例题,解答,解答,解答,例题,解答,解答,解答,例题,解答,解答,例题,解答,解答,解答,两类重要的变量替换,下面介绍两类常用的，重要的变量替换:1.极坐标变换2.广义极坐标变换,极坐标变换,极坐标变换,极坐标变换,极坐标变换,证明,证明,例题,解答,例题,解答,例题,解答,广义极坐标变换,广义极坐标变换,广义极坐标变换,例题,解答,例题,解答,Green公式,闭区域D上二重积分与D的边界曲线L上第二型曲线积分之间的联系Green公式.,单连通区域与多连通区域,边界曲线L的方向,Green公式,Green公式：,证明,证明,证明,证明,证明,Green公式的其它形式,Green公式的其它形式：,证明,Green公式的其它形式,证明,Green公式的其它形式,更一般地，我们可以证明：,Green公式的其它形式,Green公式,例题,解答,例题,解答,解答,例题,解答,解答,例题,证明,曲线积分与积分路径的无关性,曲线积分与积分路径的无关性,证明,证明,证明,证明,证明,证明,例题,例题,例题,解答,解答,曲线积分与积分路径的无关性,例题,例题,解答,例题,解答,解答,三重积分,三重积分,三重积分,三重积分,三重积分,三重积分具有与二重积分相对应的可积性理论和有关性质（比如线性性质，积分的可加性，积分的不等式，积分中值定理等等）,三重积分的计算,三重积分的计算,三重积分的计算,三重积分的计算,主要定理：,例题,解答,例题,解答,三重积分的计算,三重积分的计算,三重积分的计算,三重积分的计算,三重积分的计算,一般区域V上三重积分的计算，(1)首先应该正确地画出空间的积分区域V的图形，然后写出直角坐标系下区域V的表示法，再转化为累次积分进行计算。(2)有时要注意选择合适的积分次序，并且根据积分区域的图形正确写出积分上、下限。,例题,解答,解答,解答,例题,解答,解答,例题,解答,解答,三重积分的计算(换元积分),三重积分的计算(换元积分),主要定理：变量替换公式,三重积分的计算(换元积分),例题,解答,解答,三类重要的变量替换,下面介绍三类常用的，重要的变量替换:1.柱面坐标变换2.球面坐标变换3.广义球面坐标变换,柱面坐标变换,柱面坐标变换,柱面坐标变换,例题,解答,解答,球面坐标变换,球面坐标变换,广义球面坐标变换,广义球面坐标变换,例题,解答,解答,例题,解答,解答,二重积分、三重积分,二重积分、三重积分的概念和性质二重积分、三重积分的计算二重积分、三重积分的应用,例题,第一种解法,第二种解法,例题,解答,例题,解答,例题,证明,证明,例题,解答,n重积分,n重积分,n重积分,例题,第一种解答,第一种解答,第二种解答,第二种解答,第二种解答,例题,解答,解答,解答,例题,解答,n重积分的计算,例题,解答,广义的二重积分,广义的二重积分,广义的二重积分,广义的二重积分,广义的二重积分,具体判断广义二重积分的收敛性时，常常用到的是：1.广义二重