第九章--微分方程

机动目录上页下页返回结束,9.1微分方程的基本概念,9.2一阶微分方程,9.4微分方程在经济学中的应用,9.3二阶常系数线性微分方程,第九章微分方程,9.1微分方程的基本概念,一、微分方程的定义,二、微分方程的解,含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程,称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.,定义9.1,一、微分方程的定义,例如，,实质:联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,例1,著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时,发现,则,即有方程,从而解得落体运动的规律:,这是微分方程应用的最早的一个例子.,例2,在没有人员,迁入或迁出的情况下,于是有微分方程,方程表述的定律称为群体增长的马尔,萨斯律.,例3,在推广某项新技术时,若设该项技术需要推广,则,新技术推广的速度与已推广人数和尚待推广人数成,正比,即有微分方程,在很多领,域有广泛应用.,形如的方程通常称为逻辑斯谛方程,例4,社会对该商品,则,即,有微分方程,未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程;,未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程.,不能表示成形如形式的微分方程，统称为非线性方程.,定义9.2,的解.,二、微分方程的解,可以验证，,微分方程的解与隐式解都统称为微分方程的解.,其中包含两个任意常数，,例1中，考虑自由落体运动时，由积分法和二阶方程可得,定义9.3,求特解的步骤：,然后再根据实际,情况给出确定通解中n个常数的条件,称为定解条件,最后根据定解条件求出满足条件的特解.,由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题.,而通解中,给任意常数以确定值的解,称为方程的特解.,首先要求出方程的通解，,常见的定解条件是,相应的定解问题又称为微分方程的初值问题.,作业,9.2一阶微分方程,一、可分离变量方程,二、齐次微分方程,三、一阶线性微分方程,一阶微分方程的形式可表为,一、可分离变量方程,形如,的一阶微分方程,称为可分离变量方程.,对（9-10）两边积分,得通解,将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法，称为分离变量法.,均为可分离变量方程.,例1,解,分离变量,得,两边积分,得,即得通解,例2,解,合并同类项,得,分离变量,得,两边积分,得,即有通解,例3,解,分离变量,即有,两边积分,得,整理得通解,于是所求特解为,例4,并且,同时该公司每,年要以30百万元的数额连续支付职工工资.,解,(1)利用平衡法,即由,得到方程,(2),分离变量,得,积分,得,于是,或,得方程通解:,通常称为平衡解,仍包含在通解表达式中.,(3),由通解表达式可知,净资产额单调递减,公司将在第36年破产;,公司将收支平衡,净资产保持,在600百万元不变;,将按指数不断增长.,1.齐次微分方程,形如,的一阶微分方程,称为齐次微分方程,简称齐次方程.,二、齐次微分方程,例如,所以该方程是齐次方程.,分离变量再积分，得,代入方程，得,注意,例5,解,所给方程为齐次方程,代入原方程,得,即,分离变量,得,积分,得,即,即得方程通解,例6,解,将方程改写为齐次方程,则有,即,分离变量,得,积分,得,即,得方程通解,例7,解,所给方程为齐次方程,整理得,则有,分离变量,得,积分,得,于是有通解,2.可化为齐次方程的方程,为齐次方程.,否则为非齐次方程.,解法,原方程成为,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解,上述方法不能用.,方程组,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,例8,解,因为,于是由方程,解得,则令,方程变为,得,分离变量,得,积分得,得原方程通解,形如,的一阶微分方程,称为一阶线性微分方程,其中,则称方程(9-17)为一阶齐次线性方程,三、一阶线性微分方程,则称方程为一阶非齐次线性方程.,对应的齐次线性方程的通解为,1.一阶齐次线性方程的解法,可分离变量的方程,2.一阶非齐次线性方程的解法,两边求导，得,两边积分，得,代入原方程，得,这种通过将齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的方法称为常数变易法.,例9,解,由方程对应的齐次方程,分离变量,得,积分,得,代入原方程,得,即有,积分,得,于是原方程的通解为,例10,解,方程变为,不是一阶线性微分方程,不便求解.,方程改写为,则为一阶线性微分方程,于是对应齐次方程为,分离变量,积分,得,即令,为原方程的解,代入原方程,有,积分,得,于是原方程的通解为,例11,解,分离变量,积分,得,方程对应的齐次方程为,变易常数,令的通解为,代入原方程,积分,得,得,得,所以所求产值函数为,于是方程的通解为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,伯努利方程解法:经过变量代换化为线性微分方程.,3.伯努利方程,代入上式,例12,解,得,则方程化为,其通解为,所求方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,9.3二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程,二、二阶常系数非齐次线性方程,三、n阶线性微分方程解的结构,称为二阶常系数齐次线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程,称为二阶线性微分方程,称为二阶齐次线性微分方程,称为二阶非齐次线性微分方程,例如，,定义9.4,数.,则称,定理9.1,例如,它们是线性无关的,故方程的通解为,是方程的通解,所以,特征方程的根为,特征根的三种不同情况讨论：,方程有两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,得齐次方程的通解为,通过直接验证可知，,得齐次方程的通解为,是方程的两个线性无关的特解,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:,(1)写出相应的特征方程,(2)求出特征方程的两个根,(3)根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,例1,解,特征方程为,所以,所给方程的通解为,例2,解,特征方程为,所以所给方程的通解为,例3,解,方程的特征方程为,于是容易得到:,方程的通解为,方程的通解为,方程的通解为,即得,以上通解均不是周期函数,形如,的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中,二、二阶常系数非齐次线性方程,通常称方程为方程,对应的齐次方程.,定理9.2,定理9.3,是方程,的通解.,非齐次线性微分方程通解结构为,关键：如何求非齐次线性微分方程特解,特点：,待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而求出方程的特解.,例4,解,对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,为待定常数,代入所给方程,得,比较同幂次项系数,得,于是,方程通解为,综上讨论，求非齐次线性微分方程特解时,例5,解,对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,代入所给方程,有,比较同幂次项系数,得,于是得,方程的通解为,例6,解,对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,代入所给方程,有,于是得,所给方程的通解是,例7,解,对应齐次方程的特征方程为,解得,于是对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,于是,得,所给方程的通解是,代入所给方程,有,n阶线性微分方程的一般形式为,三、n阶线性微分方程解的结构,称之为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程.,称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程，,定义9.5,使得等式,定理9.4,则,定理9.5,则,也是方程的解,是方程的通解,定理9.6,则,例如，,故它们在整个数轴上是线性相关的,是非齐次线性方程的通解.,定理9.7,的特解.,则,是非齐次线性方程,的通解.,n阶常系数线性微分方程的一般形式为,其对应的特征方程为,n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为,根据特征方程的根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,n阶非齐次线性微分方程的特解求法,例8,解,对应齐次方程的特征方程为,解得,于是对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,代入方程有,比较系数,得,于是,从而得到所给方程的通解,机动目录上页下页返回结束,9.4微分方程在经济学中的应用,一、新产品的推广模型,二、价格调整模型,三、人才分配问题模型,于是有,一、新产品的推广模型,分离变量，积分，可以解得,也称为逻辑斯蒂曲线.,由,以及,方程也称为逻辑斯蒂模型，,通解表达式,当供给量和需求量相等时,二、价格调整模型,由可得供求平衡时的价格,于是有,方程,可得,将代入,方程(9-47)的通解为,代入上式,得,于是上述价格调整模型的解为,每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍,其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作.,于是有方程,三、人才分配问题模型,方程(9-48)有通解,于是得特解,于是得特解,将代入,方程变为,求解方程,得通解,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动