第三章--常微分数值解

第三章常微分方程的数值解法,3.1、引言3.2、初值问题3.3、边值问题,主要内容,3.1、引言,1.什么是微分方程?,1.什么是微分方程?,在化学工程中关于扩散、反应、传质、传热和流体流动等问题的数学模型。微分方程：是包含一个未知函数及其导数关系的方程。常微分方程：其中只包含一个自变量的导数的方程。,求解这样的方程一般我们需要给定初值。,例题：,初值问题和边值问题区别在于：前者在自变量一端给定附加条件，后者在自变量两端附加条件。,例题：,一维均匀介质稳态导热问题。设其一端绝热，另一端恒温为T1,1.欧拉法（Euler）2局部截断误差3改进欧拉法4龙格-库塔法5.常微分方程组6.步长的选择7.收敛性和稳定性8.线性多步法,3.2、初值问题,本章主要讨论一阶常微方程的初值问题,其中f(x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为初值条件。,各种数值解法,1.欧拉(Euler)方法,考虑模型：,在精度要求不高时,通过欧拉方法的讨论,弄清常微方程初值问题数值解法的一些基本概念和构造方法的思路.,欧拉方法,最简单而直观实用方法,方法的导出,把区间a,b,分为n个小区间,步长为,要计算出解函数y(x)在一系列节点,节点,处的近似值,N等分,设yCa，b将y(xi+1)=y(xi+h)在xi处Taloy展开,其中uiy(xi).,ui+1=ui+hf(xi，ui).i=0，1，2，.，n1,亦称为欧拉折线法/*Eulerspolygonalarcmethod*/,每步计算,只用到,依上述公式逐次计算可得：,例题,几何意义,依此类推得到一折线,故也称Euler为单步法。,公式右端只含有已知项,所以又称为显格式的单步法。,也称欧拉折线法.,就是用这条折线近似地代替曲线,欧拉方法,显式与隐式两类方法各有特点，考了到数值稳定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但使用显式算法远比隐式方便.,隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质是逐步显式化.,例1用欧拉公式求解初值问题,解取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为,已知y0=1,由此式可得,依次计算下去，部分计算结果见下表.,与准确解相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.,Ri的主项/*leadingterm*/,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,2.局部截断误差：,3.改进欧拉公式,欧拉法,隐式欧拉法,改进欧拉法/*modifiedEulersmethod*/,注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,欧拉法,改进欧拉法,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,建立高精度的单步递推格式。,4.龙格-库塔法：,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,5.常微分方程组,5.常微分方程组,6.步长的选择,7.收敛性和稳定性,收敛性：,稳定性：,8.线性多步法,1.打靶法2差分法,3.3、边值问题,边值问题的数值解/*Boundary-ValueProblems*/,2阶常微分方程边值问题,打靶法/*shootingmethod*/,先猜测一个初始斜率y(a)=m，通过解初值问题,找出s*使得(s*)=，即把问题转化为求方程(s)=0的根。,例题：,用打靶法解。,3.744273,1.826444,有限差分法基本思想：运用数值微分将导数用离散点上函数值表示，从而将边值问题的微分方程和边界条件转化为只含有限个未知数的差分方程组，并将此差分方程组的解作为该边值问题的数值解。1.二阶常微分方程的第一边值问题(1)其中q(x)(0)，f(x)在a，b)上连续，为常数。,设等距节点：xi=a+ih，i=0，1，2，n，对其中内节点应用三点微分公式：i=1，2，n(当h充分小时，略去O(h2)，并以yi-1，yi，yi+1，代y(xi-1)，y(xi)，y(xi+1)，得计算yi的差分方程组)i=1，2，n1,加上边界条件即得边值问题的差分方程组其中qi=q(xi)，fi=f(xi).矩阵形式：,注：可以证明三角方程组存