高数常微分方程

常微分方程基础知识,一、微分方程的基本概念,第1节微分方程概念与初等积分法,热力学基本规律热量总是从温度高的物体向温度底的物体传导。在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成比例。,研究步骤：利用物理知识建立数学模型（微分方程）求解此微分方程用所得的结果解释实际问题并做预测,b.基本概念常微分方程OrdinaryDifferentialEquation(ODE)偏微分方程PartialDifferentialEquation(PDE)方程的阶数（未知函数的最高阶导数的阶）通解和特解,如果一个函数用以代替微分方程中的未知函数能使该方程成为恒等式,那么就说这个函数是微分方程的一个解.微分方程的解的一般表达式称为通解.一个n阶方程的通解含有n个任意常数.满足一定具体条件的一个确定的解称为特解.(常见的条件有初始条件),C.一阶常微分方程及其解的几何解释,线素场-一阶常微分方程积分曲线族-通解积分曲线-特解,二、一阶可分离变量的微分方程,一般的处理办法及注意点(通解未必包含了所有的解),三、一阶齐次微分方程,四、一阶线性微分方程,齐次方程的解法(分离变量,凑导数)非齐次方程的两种解法(常数变易,凑导数)非齐次方程通解的结构,作业,习题4.13(双号),某些可用变量代换化为已知类型的方程,五、可降阶的高阶方程,六、微分方程应用举例,作业,习题4.14(单号)5(单号)9,第2节二阶线性常微分方程,本节讨论如下方程:,注:和一阶方程不一样,一般来说,(1)不能用已知初等函数的显式表出它的解,甚至也不能用积分来表示它的解.为求它的解,一般用的是无穷级数.本章中,对(1)的实际解法的讨论,大部分限于系数为常数的情形.另外,本章的方法都可以推广到高阶线性方程上去.,后面讨论中要用的存在唯一性定理.,这就说明线性方程理论的中心问题是求解齐次方程的问题.,一、齐次线性方程(2)的解的结构,对于(2),恒等于零的函数总是它的解,我们把这个解称为平凡解,一般没有什么意义.关于(2)的解的结构,请看下述定理.,Question(请考虑如下问题),方程(2)确有两个线性无关的解.定理1-4可推广到高阶线性方程.请举例说明两个函数线性无关,它们的Wronskian行列式可能是零.,利用一个已知的解求出别的解,作业,习题4.22345,二、二阶常系数线性ode的解法,1.齐次方程的通解求法,可以将此方法推广到n阶线性常系数齐次方程,2.常系数非齐次方程特解的求法,(1).待定系数法f(x)具有特殊形式时,上述方程特解的求法.这里的特殊形式是指:f(x)是指数函数、正弦函数、余弦函数、多项式,或这些函数的某种组合.,作业习题4.2891011(2,4,6),(2)常数变易法方法和一阶方程一样，将齐次方程通解中的常数变为函数代入。,三、欧拉方程,四、一阶常系数线性方程组的解法,五、振动问题,我们以单摆和弹簧振动为例讨论,对于电磁振荡等可完全类似讨论.无阻尼的自由摆动;阻尼摆动