第四章解析几何学

初等几何与几何教学研究之,云南师范大学,“国培计划中西部初中数学骨干教师培训”,第四章解析几何,笛卡尔将“坐标”引入几何，由此给几何带来了革命性的进步实现了几何问题“代数化”和代数问题“几何化”。题记,提纲,一、空间结构的代数化向量及其运算二、向量几何初步三、坐标与坐标变换,在第一章所讨论的实验几何中，所用的方法基本是观察、分析、实验、归纳，从而总结出一系列精而简的空间基本性质，第二章所介绍的推理几何学，仍是以实验几何学总结所得空间基本性质为基础，改用逻辑推理，建立演绎体系，将空间的理解往深度、广度上拓展。,在本章中所探讨的解析几何学，则以推理几何学的知识为基础，把空间的几何结构代数化，把空间的研究从“定性”推进到“定量”的深度。即,实验几何,拓展了对空间的理解,空间结构：,空间结构：,要将几何学的研究推进到定量的层面，最根本的做法就是把空间的结构有系统的代数化，它是解析几何的基础。(一)、位移向量及其加法1.向量的概念问题：空间中的几何量：长度、角度、面积、体积等，穷竞以哪一种几何量为基础呢？,一、空间结构的代数化向量及其运算,分析：（1）“位置”是空间中最基本的几何概念，但它本身不能构成了一个“量”，可以把两点间位置的差别看作一种量，这种量同时含有“距离”和“方向”两个要素。（2）设A、B是空间中两点（它们表示空间两个位置）则有向线段，就是从A到B的最短路径。,定义：向量就是空间两点之间位置的抽象化，它是既有大小又带有方向的量。,2.向量的加法,分析：联想“数量差”的一个事实：（b-a）+（c-b）=c-a.不难想到：“B、A的位置差”“C、B的位置差”应为“C、A的位置差”。,3.向量的运算律,(二)相似与向量倍积直观地说，相似就是放大或缩小。把相似和位移相结合,可得下述向量倍积的定义。1.向量倍积的定义,2.向量倍积的运算律：,(三)长度、角度与向量内积问题：长度和角度是两个最常用的基本几何量，如何用向量表示这两个几何量呢？,（2）引入新的向量运算内积,【注】由余弦定理（即广义的勾股定理）得,引入内积后：,(四)解析几何学的基础解析几何学的基本想法是用代数方法来研究几何学。换言之，要用基本的几何量和某些运算来描述空间的结构。具体的做法是：（1）用两点之间位置差作为基本的几何量，它就是向量，包含距离与方向两个要素，向量是位置差的抽象化。（2）定义两个向量最基本的运算：加法、倍积。加法的本质是“平移”，倍积的本质是“相似”，再导出这两个运算的运算律。,（3）为了更好的刻画“长度”和“角度”，又引入向量的一种运算内积：,然后再导出内积的运算律和性质：,向量的运算律其本质是几何性质代数化。代数依靠计算，几何依靠推理，代数的计算可看作依靠运算律的推理。由于运算律相对简明，因此，几何推理可简化为以向量运算律为基础的计算，这样，解析几何学的基本原理是：把对几何的讨论化归为对向量的运算和有效地运用运算律来求解。,二、向量几何初步,本节目的：将推理几何中的证明改用向量代数证明(一)几何不等式1.三角不等式,(二)正弦定理与余弦定理知道三角形中的三个元素（至少有一个元素是边），利用正弦定理：,余弦定理,可解三角形。,而向量内积的几何意义是：,若为直角或锐角，上述结果不变。,余弦定理,案例,人教A版必修5第一章解斜三角形,教材设计,教师：云南省昭通市一中袁敏智（高级教师）班级：昭通一中高二(379)班时间：2010年9月2日(9:20-10:00)说明：根据课后的反思，对该教学设计进行了修改。,教学设计,原教学设计：,（1）复习正弦定理：定理复习：定理及证明回顾；正弦定理的变形；正弦定理的应用（重点是应用的条件）。（2）新授：板书课题：1.1.2余弦定理探究猜想余弦定理并证明；,余弦定理的变形(3)应用一道例题和三道练习。（4）小结正余弦定理应用于解斜三角形，知三(至少有一个是边)个元素，求其余的元素。本节课应用向量法推导了余弦定理，请同学们尝试用向量法推导正弦定理。交待下节课的学习任务。,课后袁敏智老师针对教学的情况进行了深入的反思，首先改进了多媒体课件的设计，以增加教学的信息量；其次，针对本节课的教学的重难点，加强了对正余弦定理的探究和剖析；再次，加强了课时小结。在反思后，袁敏智老师形成了下面的修改后的教学设计。,复习回顾,正弦定理：,可以解决两类有关三角形的问题吗?,（1）已知两角和任一边。,（2）已知两边和一边的对角。,变型：,C,B,A,a,b,c,c2a2+b2,c2a2+b2,看一看想一想,直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动,勾股定理仍成立吗？,c2=a2+b2,是寻找解题思路的最佳途径,c=,?,c2=,=,?,?,?,算一算试试！,联想,证明：,向量法,证明,同理可证：,方法二：逆用公式,证明,证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：,解析法,证明,当角C为锐角时,几何法,当角C为钝角时,余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。,证明,证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CDAB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA,同理有：,当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。,余弦定理,a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC,你能用文字说明吗？,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,归纳,变一变乐在其中,a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC,归纳,变形,想一想：,余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？,a2+b2=c2,问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？,勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.,问题2：公式的结构特征怎样？,（1）轮换对称，简洁优美;,剖析定理,（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）,剖析,思考：,已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60求边a.,（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？,剖析定理,剖析,剖析定理,（4）能否把式子转化为角的关系式？,分析：,剖析,（1）已知三边求三个角；,问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？,（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.,剖析定理,剖析,P7例3、例4,会用才是真的掌握了,余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？,角边角角角边边边角边角边边边边,正弦定理,余弦定理,运用,练一练：P8练习1，2,1.已知ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。,变一变：,若已知三边的比是:2:1,又怎么求？,再练：,2.已知ABC中AB=2、AC=3、A=60，求BC的长。,解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=4+9-223=7BC=,思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状,分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。,（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积,分析：三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面积公式即可。,2.余弦定理,3.由余弦定理知,1.证明定理:,课堂小结,向量法、解析法、几何法,（1）已知三边求三个角；,（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.,5.余弦定理的作用,（3）判断三角形的形状，求三角形的面积。,4.余弦定理适用于任何三角形,例1:试利用向量运算证明“相似三角形的逆定理”。即两个三角形若三边对应成比例，则其三角对应相等。证明：在图中（下页）只要从条件,例1证明示意图,例2试用向量运算表达三角形的面积。【解】设三角形的一个角是，它的两个夹边分别是,例2证明示意图,【注】（1）上式又一次说明：（2）表达式的几何意义是：以为两夹边的平行四边形的面积的平方是：,(三)线性关系1.三点共线的充要条件：设A、B、C是平面上给定的三点，用向量的说法：A、B、C三点共线也就是,问题:能否用代数表达式三点共线的充要条件?分析：任取一点O，易知：,应用：（1）定比分点。设A、B是给定两点，P是直线AB上另一点，则存在唯一的实数，使得：,反之，P的位置由入的值的唯一确定，叫做有向线段以比值为的定比分点。,（2）调和点列设A、B、P、Q是直线上的四点，其中P、Q分别是直线段以、-为比值的定比分点，亦即则称A、B、P、Q成调和点列。,定理：共线四点A、B、P、Q成一调和点列的充要条件是：,2.平面向量间的线性关系：平面向量基本定理：,课题：线段的定比分点,人教A版必修2第五章教学设计：昆明市第一中学高级教师孔德宏（2008年11月）,复习,1.向量与非零向量共线的充要条件是.。,2.设点A为，B为，则向量的坐标为。,3.已知（x，y）+（1，4）（7，6），则x=，y=。,8,10,教学设计,设、是直线l上的两点，点P是l上不同于点、的任意一点，则存在一个实数，使得，叫做点P分有向线段所成的比。,学生阅读课本P113115，并思考以下问题：1.什么是点P分有向线段所成的比？应注意什么？2.当点P在线段上时，；当点P在线段或线段的延长线上时，。3.上题的逆命题成立吗？5.若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为；点分有向线段所成的比为；点分有向线段所成的比为。6.线段的定比分点坐标公式是；它是如何得到的？7.线段的中点坐标公式是。,0,0,逆命题不成立，因为当时，点P不存在。,4.请你分别说出当时，分点P的位置。,分点P的位置及范围的关系,设，且点，,则，,所以，,解得：,从而,当时，即可得中点坐标公式：,线段定比分点坐标公式,3.已知点（4,-3）、（-2,6），若，求点P坐标。,1.已知P、Q、R三点共线，点P分有向线段所成的比为4，则点R分有向线段的比是（）,4.已知平行四边形ABCD三个顶点A（-2,1）、B（-1,3）、C（3,4），求顶点D的坐标。,思考与练习：,A、B、3C、D、3,B,2,10,2.已知点（-1,-2）、（2,4）、P（5,y），且三点共线，则点P分有向线段所成比；y。,已知a、b、m均为正实数，且ab，你能用“线段的定比分点”的知识来证明吗？,创新探索：,解：构造点P1（,0），P2（1,0），P（,0），,设点P分有向线段所成的比为，则，,解得：.,点P为有向线段的内分点.,又,.,1.点P分有向线段所成的比的概念以及值的确定；2.线段的定比分点坐标公式和线段的中点坐标公式；3.分点的位置与的范围的关系；4.用运动的观点看线段定比分点公式：当为某一确定值时（），点,小结：,变动时，则点P也随着的值的变化而在直线上运动；当,表示直线（其中）上的一个定点。当,小结：,作业,2.线段的中点向量公式是。,P115116习题5.5的第2、4、5.,一、思考题：,1.你能得到线段的定比分点的向量公式吗？,二、书面作业：,三、坐标与坐标变换,(一)平面直角坐标系在平面上取定一点O作为基准点，（以后称为原点），互相垂直的两个方向作为基准方向（称为x轴和y轴的方向）。,例题第（3）问推演示意图,【注】高一数学下册（人教版）：两角和与差的余弦教材设计：.平面内两点的距离公式：,2.提出问题：如何用两点间的距离公式推导,3.公式推导：如图所示：,4.例题与练习,1.该节课知识间的逻辑性不够强，例如，两点间距离公式出现比较突然；P4点的作法很难想到。2.教材设计时没有很好地体现思维发生和发展的过程，学生难于理解为什么要在单位圆中作哪些点，尤其是P4点。如果改用向量法去推演余弦的两角和公式，思路就比较自然。这就是向量法的优点。,评析,3.向量的内积和三角函数的和角之间关系密切。我们可用余弦函数的和差公式反求向量的内积公式：,（4）平行四边形面积公式,（5）三角形面积公式,所以，三点P1、P2、P3共线用行列式表示即,(二)直线与圆直线与圆是几何学中最简单、最常用的图形。在平面上取定坐标条后，其方程可用简单的代数式加以描述。1.力学中的惯性定理常说：“一个不受外力作用的质点P，恒作直线等速运动”我们用一个取定的坐标系来描述该质点P的位置。,2.法线式方程,在平面解析几何中，直线的方程有：点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式、参数式和法线式。1978年后的高中数学教材，删去了直线的法线式方程。过去，引进直线的法线式方程一方面是该方程有很好的几何意义，在解决某些问题时能带来便利；其次，该方程推导直线到点的距离很方便。下面推导直线的法线式方程。,法线式方程推导示意图,O,Q,直线到点的距离公式推导示意图,案例,（人教版高二数学上册）,昆明市第十四中学陈艳斌,距离,教学设计,一、点到点的距离,2.二维情形：,（定理：两点之间，线段最短。）,（回顾公式的推导过程，重点说明怎样构造直角三角形及点C坐标的由来。）,二、点到直线的距离,例：求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离,思路：先由两直线垂直得到kPQ；再运用点斜式写出直线方程;由两直线方程联立，求出交点Q的坐标；最后根据两点间距离公式得到点到直线的距离。,（这个方法思路自然，学生运用已有的知识，可以求出这个具体问题中的点到直线的距离。让学生解决这个问题，一方面是前面知识的综合运用；另一方面又可以让他们体会用这种方法求点到直线距离时运算的烦琐。）,复习：点到直线的距离的定义,一般地，求点P0（x，y）到直线Ax+By+C=0(AB0)的距离,思路：构造直角三角形：过P0作两坐标轴的平行线，与直线相交，即可得直角三角形。求P0Q,方法：,射影定理；,相似三角形的性质；,等面积法：,练习2：求原点到下列直线的距离：,练习1：用点到直线的距离公式解决前面的例题,（1）3x+2y-26=0,（2）x=y,（3）x=2,练习3：历年高考题举例:,三、两平行直线的距离,例：求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离,复习：两平行直线间距离的定义,思路：先求出其中一条直线上任意一点P0的坐标（一般选择该线与坐标轴的交点）；再运用点到直线的距离公式求出P0Q，即为所求两平行直线间的距离。,（教材P54第15题）求证：两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是,（注意两平行线间距离公式与点到直线距离公式的对比和记忆；强调该公式中C1与C2与A、B有关；及A=0，B0或A0，B=0时公式的可用性）,评析,1.本节课体现了奥苏伯尔的“上位学习”与“下位学习”,学习1：,A=点到直线距离（新知识）,a1=直线的方程；a2=交点；a3=两点间距离公式；a4=等面积法,学习2：,（上位学习）,（下位学习）,B=距离公式,b1=两点间距离公式；b2=点到直线距离公式；b3=两平行线间距离公式；b4=相关距离概念,2.教师的教学设计增加了复习这一环节，通过复习“点与点之间的距离”唤起学生原认知，为推导“点到直线的距离”作准备。这个教学环节可以看作教学的“先行组织者”。,3.其次对“点到直线的距离”概念的复习，引出学生对推导“点到直线的距离”的方法的思考。通过对三个解决问题的方案比较，选择面积法并推导公式、同时考虑直线的特殊位置（A=0或B=0）公式是否成立。教师的主导作用体现在帮助学生作更深入的思考。,4.“点到直线的距离”是两直线的位置关系的一部分。研究两直线的位置关系，其实质是研究几何的度量性质：“距离”与“角度”。教师将下一节课时中的两平行直线间的距离提前至这一节课，使得教学更紧凑、利于学生从整体去把握“距离”。如果采用直线的法线式方程，本节课的教学将会容易许多。,3.两点式、参数式、点斜式和法线式都是从一条直线的不同给定方式（几何条件）出发，求得直线的方程，它们各有各的几何特点。除了参数式方程以外，其它各种方程都是x，y的一次方程。不难得出：定理：任何直线方程都是x、y的一次方程，反之，任何一个关于x、y的一次方程都是直线的方程。,两个x,y的一次方程：A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0表示同一直线的充分必要条件是：它们的系数成比例，即A1：B1：C1=A2：B2：C2.,4.圆的方程在平面直角坐标系下，以（x0，y0）为圆心、半径为R的圆的方程是：,(三)坐标变换,由平面向量基本定理，得下列坐标变换公式：,坐标变换推演示意图,(四)圆锥曲线与二次方程,1.曲线与方程当我们在平面上取定一个坐标系后，平面上的一条曲线，可以用曲线上的“动点”坐标(x,y)所满足的条件来描述它，通常叫做该曲线在选定坐标系下的方程。一条曲线的方程是随坐标系的选定而定。假若坐标系选得好，则方程会比较简单。,2.圆锥曲线的方程命题1：对于任何直角坐标系，一个圆锥曲线的方程总是二次的。【证明】由圆锥曲线的原始定义，它是一个正圆锥和一个平面的截线。我们这样选取坐标系：,命题1推演示意图,3.二次曲线的讨论一般二次曲线的方程总可写成为：,由于曲线的度量性质（如面积、长、短轴实、虚轴亦或对称轴，离心率等）在正交变换下不变。,其中：,命题2：,是二次曲线方程系数之间的三个不变量。（证明略，可参看吕林根等编解析几何（第三版），高等教育出版社，1987年）,（1）二次曲线的化简：,（2）分类定理定理：二次曲线方程所表示的圆锥曲线可分为下列几种情形：,通过选取合宜的（h0，k0）及旋转角0，任何一条二次曲线的方程可化为上述几种形式之一的标准方程。,从解析几何的观点，由一个代数方程所确定的曲线（即其坐标满足给定代数方程的点的集合）是一系列的自然的研究对象，这种曲线叫做代数曲线。上面的讨论说明：（x,y）平面上的一次代数曲线是直线,二次代数曲线是圆锥曲线。关于解析几何的讨论，我们就介绍到这里，下面看一个必修4的教学案例。,人教A版课标实验教材必修4之2.5.1平面几何中的向量方法,案例,班级：云南师范大学五华实验中学高一（1）班教师：许亚平（教务主任）时间：2010年4月21日8：409：20,一、教材设计,二、教学任务分析,1.从教材设计可以看出，本节课主要解决：用“向量法”解决平面几何问题的基本方法，以及向量法解决几何问题的三步曲（建立联系，将平面几何问题转化为向量问题；进行向量运算；将运算问题进行翻译，以得到平面几何问题的解答）。其中，教学难点是平面几何问题怎么化归为向量问题。,2.本节课的教学内容仅有三页，但是，例2的解决却要绕三个弯：,取基底向量，用基底向量线性表示欲证向量，通过向量的线性运算得到问题的解。这个题目的解答，不容易看懂，也不容易讲授。3.教材中的例1虽然比较简单，但是解答步骤有跳跃，如果不搭建支架，将不容易形成对教学内容的理解。对于本节课的教学，许老师作了充分的准备。下面看看教学实录：,（一）问题的提出,1.用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化.,三、教学过程实录,教师用课件给出了下面一段话：,2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题（它们是欧氏几何变换下的不变量），而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来。因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结。,复习回顾：1.两个向量共线的关系？,2.如何用三角形法则、平行四边形法则进行两个向量的加减法运算？,教师接着用课件提出了如下两个问题：,教师：“现在请同学们回顾一下，两个向量共线的关系是什么？”同学们基本上回答不出来（由于教学节奏快，同学们巩固内化不够）。教师用板书归纳：,对于问题2，教师用板书解释：,由于同学们对前面所学的概念掌握不是很牢固，教师的复习耗时10分钟。数学新课程由于内容多、课时紧，教师常常赶进度；同时，向量的概念也是不太容易掌握的。因此，目前昆明市数学新课程的进度虽然基本上统一，但是同学对知识的掌握情况却令人担忧。,例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,（二）解决问题,教师采用“师生共作”的方式解答例1.（1）建立平面几何与向量的联系：,（这相当于用向量表示平面几何的元素）,从而得：,特殊化,平行四边形中对角线的平方和等于两邻边平方和的2倍。教师：“同学们这个结论对吗？没有勾股定理的帮助，怎么证明它？请同学们阅读教材第109第110页，体会一下怎么用向量法证明这个结论，证明的思路和方法是什么？”许老师对例1的处理方式正是新课程的教学理念的体现，通过矩形联想勾股定理，得到命题的猜想，既有效地衔接了教学，又开拓了同学的思路。,建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,在同学们阅读教材的时候，教师用课件呈现了如下的内容：,教师问学生：“同学们，您们阅读教材的时候有困难吗？”一位女生说：“教材中的分析读不懂，主要是为什么?”,许老师解释：,（2）用向量运算：,（3）翻译：平行四边形中两对角线的平方和等于两邻边平方和的2倍。,例1的解决花费了10分钟，下面解决例2.,猜想：AR=RT=TC,例2如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,教师仍采用“师生共作”的方式解决例2.解：设,此时，已经临近下课，例2没有板书完的解答，就留给学生看教材。下面教师进行本节课的小结：,（三）小结：,向量解决几何问题的”三步曲“是：建立联系，向量运算，翻译。三点共线的判定：A,B,C三点共线的充要条件是：,教师用课件布置了一道思考题（见后），然后布置课外作业P113习题2.5A组：1，2.,思考：如图，ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作DGBE，DHCF，垂足分别为G、H，试推断EF与GH是否平行.,结论:EFGH,由于例2的解法比较复杂，耗时较多，本节课超时了5分钟。,评析,1.今天的课，在教学设计上充分考虑了学生的认知特点，设计缜密，尤其是对例1的处理，采用了“支架式教学设计”，帮助学生建构知识。2.在教学组织上，采用了“阅读+解释+师生共作”，两道例题的讲解都采用板书的形式以突出向量法解几何问题的特点。3.板书与课件的配合相得益彰。,思考,1.本节课属于“问题解决”学习，美国心理学家加涅认为：解决问题是一种高级规则的学习。他指出：“问题解决并不是简单地就先前习得的规则的运用，它是一个产生新的学习的过程。学习者被置于（或发现自己处于）一个问题情境中，他们回忆先前已掌握的规则以试图找到一个答案。在进行这样一个思维的过程中，学习者会尝试许多假设并检验它们的可应用性。当他们找到一个适合这一情境的规则的特定联合的时候，他们不仅仅解决了这个问题，而且也学会了某些新的东西。”,许老师的教学设计和实施体现了加涅关于“问题解决”的学习理论。2.这一节课的教学设计和实施是很不错的。但是，从课堂现场观察看，学生在这节课上究竟掌握了什么，值得担忧。尤其是对例2的学习，由于为了完成教学任务，后10分钟的教学比较快，学生是被拖着走的。学生为什么对“向量法解决几何问题”感觉掌握困难呢？,用向量法解几何题，其出发点是对向量的概念、向量的线性关系、向量的几何（物理）运算等概念要有深刻的理解。赫尔斯（S.H.Hulse）把概念分为易下定义的概念和难下定义的概念。易下定义的概念是关键特征明显，容易用某种规则揭示出来的概念；难下定义的概念是关键特征不明显，不容易用某种规则揭示出来。,南京师大博士喻平把数学概念分为“陈述性概念”和“运算性概念”;相当于赫尔斯的易下定义概念和难下定义概念，其中运算性概念又分为程序性概念和构造性概念两类。程序性概念是指该概念的定义中给出了判断概念本质属性的运算程序；构造性概念指在判断一个概念时，需要构造出一个满足某种属性的对象后，再实施运算的概念。上述关于向量的概念、向量的线性关系、向量的几何（物理）运算等均属运算性概念。,对于运算性概念的获得，主要的方式是“概念同化”，它包含以下几