经济数学-微积分吴传生

,一、问题的提出,二、微分方程的定义,三、主要问题求方程的解,四、小结思考题,第一节微分方程的基本概念,一、问题的提出,另一方面：,例1:某人以本金p0进行一项投资，年利率r,若以连续复利计，则t年末资金总额为：,t时刻资金总额的变化率,=t时刻资金总额获得的利息,即有：,此即为微分方程,在初始条件下，,应该有解：,由方程，猜想其解为.,例2:一质量为m的物体仅受重力作用而下落，设初始位置和初始速度都为0，试确定物体下落的距离S与时间t的关系。,解：,由题设及牛顿第二定律知，,确定函数,问题就是由,解,一、问题的提出,由题有,且满足：,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,1.微分方程的定义:,二、微分方程的有关概念,含有未知函数的导数或微分的方程,2.微分方程的阶-,方程中最高阶导数的阶数,3.微分方程的分类-,4.微分方程的解-,5.微分方程的通解-,6.微分方程的特解-,7.微分方程的所有解-,8.微分方程的初始条件-,满足微分方程的函数,含有相互独立的任意常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同的解,不含任意常数的解,即全部的解,用来确定任意常数的条件,一阶和高阶，线性和非线性，齐次和非齐次等,求所满足的微分方程.,例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,第二节目录上页下页返回结束,例如,(1)y=x2+C是方程y=2x的解；,(2)xy=1是方程xdy+ydx=0的解.,通解,通解,例如,有解,y=x及y=C,例如,解:满足方程的函数称为微分方程的解.,特解:不含任意常数的解.,所有解通解不能包含在通解内的所有特解,通解:含有相互独立的任意常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同的解称为微分方程的通解,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,微分方程,初始条件(定解条件),称为初值问题(柯西问题),解,微分方程,初始条件,通解,特解,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程，叫做微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶微分方程,分类2:,分类3:,分类4:单个微分方程与微分方程组.,非线性微分方程.,线性微分方程.,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,满足,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图像:微分方程的积分曲线.,通解的图像:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.,解：,代入原方程得,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,四、小结,本节基本概念：,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,练习题,练习题答案,一阶,二阶,一阶,一阶,一阶,二阶,一阶,一阶,线性,线性,非线性,非线性,一阶,二阶,一阶,一阶,线性,线性,非线性,非线性,非齐,非齐,齐,非齐,一阶,二阶,一阶,一阶,线性,线性,非线性,非线性,非齐,非齐,齐,非齐,齐,非齐,非齐,非齐,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。,未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。,分类3:线性与非线性微分方程.,分类5：单个微分方程与微