第9章-微分方程

1,第九章,微分方程,2,解,第一节基本概念,3,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,若未知函数是一元函数，称常微分方程，否则称偏微分方程.本章只讨论前者.,方程中所含未知函数的导数的最高阶,称为微分方程的阶.,一阶微分方程,高阶(n阶)微分方程,4,使方程成立的函数称微分方程的解.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,5,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,6,第二节可分离变量的微分方程,为微分方程的通解.,两边积分,为可分离变量的方程.,称,则,P190,7,解,例1,8,解,例2,9,第三节一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,一、线性方程,10,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,使用分离变量法,11,2.线性非齐次方程,常数变易法,把相对应的齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,12,积分得,所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程的通解,非齐次方程特解,13,解,例1,14,解法2,例1,15,Review,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,1.线性齐次方程,16,Review,常数变易法,2.线性非齐次方程,17,(3),线性微分方程的解的结构,先讨论二阶齐次线性方程,也是(3)的解.,定理1,(4),进一步，,则(4)就是,(3)的通解.,1.齐次线性方程解的结构,18,(2),推论(齐次线性方程的叠加原理),的n个线性无关的解,则它们的任意线性组合,即为方程(2)的通解.,19,2.非齐次线性方程解的结构,回顾：,一阶线性微分方程,对应齐次方程的通解,非齐次方程特解,20,2.非齐次线性方程解的结构,定理2,(5),的一个特解,(3),的通解,那么(5)的通解为,21,(1),为二阶常系数齐次线性微分方程,常系数齐次线性微分方程,于是方程通解为,其中a,b,c是常数.,称,22,(1),(2),代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程,它的根称为特征根.,23,(3),24,25,26,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,27,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,28,解,特征方程为,故所求通解为,例3,例4,解,特征方程为,解得,故所求通解为,29,解,特征方程为,故通解为,例5,P205,30,n阶常系数齐次线性方程,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,31,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,f(x)常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,*常系数非齐次线性微分方程,32,则,33,34,综上讨论,设特解为,其中,代入原方程,或利用下式,来确定Q(x).,35,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例1,36,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入,原方程通解为,例2,得,37,解,对