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第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程,71贝塞尔方程的引出,求解下述定解问题,用分离变量法解这个问题，先令,代入方程(7.1)得,或,由此我们得到,(7.4),(7.5),方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz）方程，为了求出这个方程满足条件,(7.6),的固有值与固有函数，我们引用平面,上的极坐系.,将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得,再令,代入(7.7)并分离变量可得,(7.9),(7.10),由于,是单值函数，所以,也必是单值的，,应该是以,为周期的周期函数，这就决定了,只能等于如下的数：,因此,以,代入方程(7.10)，并作代换,则得,(7.11),称为,阶贝塞尔（Bessel）方程.,72勒让德方程的引出,对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量.,在球坐标系中拉普拉斯方程为,(7.12),令,代入(5.12)得,以,乘上式各项得,或,则得,(7.13),(7.14),将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有,-欧拉方程,以,乘方程(7.14)的两端得,即,从而得,（7.15）,(7.16),所满足的微分方程可写为,把上式第一项中的导数计算出来，并化简得,(7.17),方程(7.17)称为连带的勒让德(Legendre)方程.,如果引用,自变量,并将,改记成,，,则(7.17)变成,(7.18),若,与,无关，则从(7.16)可知,这时(7.18)简化成,(7.19),方程(7.19)称为勒让德方程,73施特姆-刘维尔理论简述,前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们讨论更一般的微分方程,(7.20),方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例.,若,则(7.20)就变成贝塞尔方程,若,则方程(7.20)就成为勒让德方程,若,则方程(7.20)就变成连带的勒让德方程,方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouville）型方程,方程(7.20)的固有值问题的提法为：求此方程满足条件,的非零解（固有函数）及对应于非零解的（固有值）。,几点结论：,1、存在无穷多个实的固有值，它们构成一个递增数列，,即,对应于这无穷多个固有值有无穷多个固有函数,2、当,时，所有固有值均不为负，即,3、设,是任意两个不相同的固有值，对应于,这两个固有值的固有函数记为,则,4、固有函数,在,上构成一个完备系。,其中,例：证明当,时，,（7。21）,证因为固有函数,分别是方程(7.20)当,时的非零解，,所以有,（7。23）,（7。22）,以,乘（7.22）减去,乘（7.23）得,上式积分得,(7,24),讨论：,(i),从而,
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