第7章-微分方程 1

,第7章微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,第1节微分方程的基本概念(1),微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第1节微分方程的基本概念(2),引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,求该曲线的方程.,切线斜率为2x,第1节微分方程的基本概念(3),引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,制动时,第1节微分方程的基本概念(4),常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程,方程中所含未知函数导数的最高阶数,(本章内容),(n阶显式微分方程),微分方程：,一般地,n阶常微分方程的形式是,微分方程的阶：,微分方程,或,第1节微分方程的基本概念(5),使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解：,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,第1节微分方程的基本概念(6),例1.验证函数,是微分方程,的通解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,第1节微分方程的基本概念(7),求所满足的微分方程.,例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即所求的微分方程为,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,第二节,第2节可分离变量微分方程(1),转化,解分离变量方程,可分离变量方程：,第2节可分离变量微分方程(2),分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x)=f(x)0,时,由确定的隐函数x(y)也是的解.,设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由确定,第2节可分离变量微分方程(3),例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),第2节可分离变量微分方程(4),例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,第2节可分离变量微分方程(5),例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,第2节可分离变量微分方程(6),例4.,子的含量M成正比,求在,衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.,解:根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知t=0时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,第2节可分离变量微分方程(7),例5.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,第2节可分离变量微分方程(8),例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变,解:由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由h降到,第2节可分离变量微分方程(9),对应下降体积,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,第2节可分离变量微分方程(10),两端积分,得,利用初始条件,得,则得容,器内水面高度h与时间t的关系:,可见水流完所需时间为,因此,第2节可分离变量微分方程(11),内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,第2节可分离变量微分方程(12),找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,第2节可分离变量微分方程(13),思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,第3节齐次方程(1),一、齐次方程,*二、可化为齐次方程,第3节齐次方程(2),一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,第3节齐次方程(3),例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),第3节齐次方程(4),例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,第3节齐次方程(5),由光的反射定律:,可得OMA=OAM=,例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由,解:将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角=反射角,能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切,从而AO=OM,xOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,按聚光性,而AO,于是得微分方程:,光线，经它反射后都与旋转轴平行.,求曲线L的方程.,第3节齐次方程(6),积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),第3节齐次方程(7),顶到底的距离为h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得,第3节齐次方程(8),(h,k为待,*二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出h,k,(齐次方程),定常数),第3节齐次方程(9),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,第3节齐次方程(10),例4.求解,解:,令,得,再令YXu,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,第3节齐次方程(11),得C=1,故所求特解为,思考:若方程改为,如何求解?,提示:,第4节一阶线性微分方程(1),一、一阶线性微分方程,*二、伯努利方程,第4节一阶线性微分方程(2),一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程(一阶线性齐次微分方程),第4节一阶线性微分方程(3),对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,第4节一阶线性微分方程(4),例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,第4节一阶线性微分方程(5),第4节一阶线性微分方程(6),在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,例2.有一电路如图所示,电阻R和电,解:列方程.,已知经过电阻R的电压降为Ri,经过L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感L都是常量,第4节一阶线性微分方程(7),解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,第4节一阶线性微分方程(8),因此所求电流函数为,解的意义:,第4节一阶线性微分方程(9),例3.求方程,的通解.,解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可变形为,所求通解为,第4节一阶线性微分方程(10),*二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利,第4节一阶线性微分方程(11),例4.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,第4节一阶线性微分方程(12),内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,第4节一阶线性微分方程(13),3.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程,例如,解方程,法1.取y作自变量:,线性方程,法2.作变换,则,代入原方程得,可分离变量方程,第4节一阶线性微分方程(14),思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,第4节一阶线性微分方程(15),备用题,1.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,线性方程,利用公式可求出,第4节一阶线性微分方程(16),2.设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,第4节一阶线性微分方程(17),2)再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3)原问题的解为,第4节一阶线性微分方程(18),(雅各布第一伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,第5节可降阶高阶微分方程(1),一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第5节可降阶高阶微分方程(2),一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,第5节可降阶高阶微分方程(3),例1.,解:,第5节可降阶高阶微分方程(4),型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,第5节可降阶高阶微分方程(5),例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,第5节可降阶高阶微分方程(6),例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,第5节可降阶高阶微分方程(7),则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,第5节可降阶高阶微分方程(8),三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,第5节可降阶高阶微分方程(9),例5.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,第5节可降阶高阶微分方程(10),M:地球质量m:物体质量,例6.,静止开始落向地面,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,求它落到地面时的速度和所需时间,第5节可降阶高阶微分方程(11),例7.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,第5节可降阶高阶微分方程(12),内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,第5节可降阶高阶微分方程(13),思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,第5节可降阶高阶微分方程(14),速度,大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对x求导,得,又由于,设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v,备用题,的速度沿y轴正向运动,物体B从(1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,第5节可降阶高阶微分方程(15),代入式得所求微分方程:,其初始条件为,即,第6节高阶线性微分方程(1),二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第6节高阶线性微分方程(2),一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,第6节高阶线性微分方程(3),据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,第6节高阶线性微分方程(4),求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.,解:设电路中电流为i(t),的电量为q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串,极板上,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,第6节高阶线性微分方程(5),串联电路的振荡方程:,化为关于,的方程:,故有,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,第6节高阶线性微分方程(6),n阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,(二阶线性微分方程),例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,第6节高阶线性微分方程(7),证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,第6节高阶线性微分方程(8),说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,第6节高阶线性微分方程(9),定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,第6节高阶线性微分方程(10),两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,第6节高阶线性微分方程(11),定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,则,第6节高阶线性微分方程(12),三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,第6节高阶线性微分方程(13),是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,第6节高阶线性微分方程(14),定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,第6节高阶线性微分方程(15),定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,第6节高阶线性微分方程(16),常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),第6节高阶线性微分方程(17),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,第6节高阶线性微分方程(18),*四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:,第6节高阶线性微分方程(1),第7节常系数齐次线性微分方程(1),二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,第7节常系数齐次线性微分方程(2),特征方程,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,第7节常系数齐次线性微分方程(3),特征方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,第7节常系数齐次线性微分方程(4),小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,第7节常系数齐次线性微分方程(5),例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,第7节常系数齐次线性微分方程(6),例4.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,第7节常系数齐次线性微分方程(7),例6.,解:特征方程:,即,其根为,方程通解:,第7节常系数齐次线性微分方程(8),例7.,解:特征方程:,特征根为,则方程通解:,第7节常系数齐次线性微分方程(9),内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,第7节常系数齐次线性微分方程(10),思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,第八节,第7节常系数齐次线性微分方程(11),备用题,为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,第8节常系数非齐次线性微分方程(1),一、,二、,第8节常系数非齐次线性微分方程(2),二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,第8节常系数非齐次线性微分方程(3),一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,为m次多项式.,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解形式为,Q(x)为m次待定系数多项式,第8节常系数非齐次线性微分方程(4),(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,可设特解,第8节常系数非齐次线性微分方程(5),例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,第8节常系数非齐次线性微分方程(6),例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,第8节常系数非齐次线性微分方程(7),例3.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,第8节常系数非齐次线性微分方程(8),于是所求解为,解得,第8节常系数非齐次线性微分方程(9),二、,第二步求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将f(x)转化为,第三步利用叠加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特点,第8节常系数非齐次线性微分方程(10),第一步,利用欧拉公式将f(x)变形,第8节常系数非齐次线性微分方程(11),第二步求如下两方程的特解,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程的特解.,设,则有,特解:,第8节常系数非齐次线性微分方程(12),第三步求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为m次多项式.,第8节常系数非齐次线性微分方程(13),第四步分析,因,均为m次实,多项式.,本质上为实函数,第8节常系数非齐次线性微分方程(14),小结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,第8节常系数非齐次线性微分方程(15),例4.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,第8节常系数非齐次线性微分方程(16),例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,第8节常系数非齐次线性微分方程(17),例6.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,第8节常系数非齐次线性微分方程(18),内容小结,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,第8节常系数非齐次线性微分方程(19),思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,第8节常系数非齐次线性微分方程(20),2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,第8节常系数非齐次线性微分方程(21),3.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,第8节常系数非齐次线性微分方程(7),第9节欧拉方程(1),欧拉方程,常系数线性微分方程,第9节欧拉方程(2),欧拉方程的算子解法:,计算繁!,第9节欧拉方程(3),则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,第9节欧拉方程(4),例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,第9节欧拉方程(5),的通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,第9节欧拉方程(6),例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入解得A=1,所求通解为,第9节欧拉方程(7),例3.,解:由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得A1,第9节欧拉方程(8),得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,第9节欧拉方程(9),思考:如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,为常数,作业P3492;6;8,第十节,第10节欧拉方程(1),习题课(1),一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,变量代换法,代换因变量,代换某组合式,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,代换自变量,习题课(2),二、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法降阶法,令,令,逐次积分求解,习题课(2-1),2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,习题课(3),例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,(2)这是一个齐次方程，,令y=ux,化为分离变量方程:,习题课(4),方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,习题课(5),例2.求下列方程的通解:,提示:(1),令u=xy,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,习题课(6),令y=ut,(齐次方程),令t=x1,则,可分离变量方程求解,化方程为,习题课(7),例3.,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2003考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,习题课(8),(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,习题课(9),特征根:,例1.求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解:,代入方程定A,B,得,得,习题课(10),处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,习题课(11),例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,习题课(12),思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,习题课(13),的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1)试将xx(y)所满足