线性代数现代运算-解方程-微分积分求解-线性规划-数字信号处理

Matlab与系统仿真,1,第三章MATLAB语言在现代科学运算中应用,前言3.1线性代数问题3.2多项式3.3微积分问题求解3.4微分方程3.5重要的积分变换3.6数据插值3.7线性规划问题3.8数字信号处理问题,第三章,Matlab与系统仿真,2,前言,解析解与数值解,工程技术人员：如何求出问题的解，即求解的方法，而获得数学问题解的最直接方法就是通过数值解法技术。,数学家感兴趣：数学问题的解析解，或称闭式解，以及解的存在性的严格证明。,Matlab与系统仿真,3,前言,MATLAB语言结合著名的符号运算语言Maple，并以其作为符号运算工具箱，该工具箱中函数可用来求解线性代数问题的解析解。,Matlab与系统仿真,4,为区别于常规的数值运算，需将一些变量先声明为“符号变量”，其格式为：,x=sym(x),symsxyz;,符号,Matlab与系统仿真,5,例：pians=3.1415,例：delta=1/3delta=0.3333x=delta5x=0.0041,formatlongpians=3.14159265358979,pi=sym(pi)pi=pi,delta=sym(1/3)delta=1/3x=delta5x=1/243,Matlab与系统仿真,6,运行符号运算前，必须先定义其中的变量。,f=3*x+2*y+1?Undefinedfunctionorvariablex.,x=sym(x);y=sym(y);f=3*x+2*y+1symsxy;f=3*x+2*y+1f=3*x+2*y+1,Matlab与系统仿真,7,例：比较下面数值解法和解析解法的区别。,A=123;456;780;B=sym(A);（1）数值解法（2）解析解法,Matlab与系统仿真,8,矩阵的秩rank(A)ans=3,3.1线性代数问题,矩阵的特征多项式、特征方程与特征根B=poly(A)B=1-6-72-27C=roots(B)C=12.1229-5.7345-0.3884,详见PPT的第11张,Matlab与系统仿真,9,矩阵的特征值和特征向量,V,D=eig(A)D对角矩阵，其对角线元素为矩阵A的特征值；V满秩矩阵，各列向量为各特征值对应的特征向量。,v,d=eig(A),Matlab与系统仿真,10,3.2多项式,多项式的相关知识（1）多项式求值（2）多项式与根互求（3）部分分式与多项式的转换（4）解方程组,y=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an,p=a0,a1,an-1,an,多项式的表达,在MATLAB软件中，将多项式系数以向量形式进行表达：,0系数不能省！,Matlab与系统仿真,11,（1）多项式求值,y=polyval(p,x)p为多项式系数向量，x可为数值、数组或矩阵。,r=roots(p)多项式求根运算，P为多项式系数向量；P=poly(r)将已知多项式根转换为多项式运算；,（2）多项式与根互求,Matlab与系统仿真,12,例：,Matlab与系统仿真,13,（3）部分分式与多项式的转换,r,p,k=residue(b,a)将多项式转换为部分分式，b,a分别为分子、分母系数向量；b,a=residue(r,p,k)将部分分式转换为多项式。,Matlab与系统仿真,14,例：,b=2,7,10,6;a=1,3,2;r,p,k=residue(b,a),Matlab与系统仿真,15,例：求取某系统特征多项式的极点,b=2,4,6,8;a=1,3,5,7,9;r,p,k=residue(b,a),Matlab与系统仿真,16,（4）解方程组,g=solve(eq1,eq2,eqn);,Matlab与系统仿真,17,（数据结构体）,例：g=solve(x+y+z=6,x2+y2+z2=100,6*x+y-4*z=6),g=x:2x1symy:2x1symz:2x1sym,Matlab与系统仿真,18,一、极限二、微分三、积分,3.3微积分问题求解,Matlab与系统仿真,19,一、极限求解,数学形式,F为输入函数x为自变量，可略a为常数x0，省略则a=0，inf表示x-,limit(F,x,a，),函数格式：,Matlab与系统仿真,20,symsx;limit(3*x2-x+1)/(2*x2+x+1)(x3/(1-x),x,inf)ans=0,例：求,如果没有这句symsx,会怎样？,Matlab与系统仿真,21,二、微分运算,导数与偏导数,diff(S,v,n),S为函数f(x)或者f(x,y)v为待求导的自变量n为求导阶数，默认为1,例：Dfx=diff(x2+x*y+y2,x),但新版本中，直接这样写会报出warning,Matlab与系统仿真,22,diff(sym(S),v,n),正确形式：,即使前面加：symsxy也没用,Matlab与系统仿真,23,三、积分,（1）不定积分与定积分,F为输入函数v为独立变量a,b为积分区间边界,R=int(F,v),不定积分R=int(F,v,a,b),定积分,函数格式,例：symsx；R=int(1/(1+x2),x,-inf,inf)R=pi,Matlab与系统仿真,24,利用多个int()函数进行求解，特别注意各层次int()内参数对应设置。,（2）重积分,例：计算，其中V是由三个坐标面及平面：x+2y+z=1围成的区域。,symsxyzint(int(int(x,z,0,1-x-2*y),y,0,(1-x)/2),x,0,1)ans=1/48,Matlab与系统仿真,25,数学中，含有自变量x，未知函数y以及其导数的方程F(x,y,y,y(n)=0称为微分方程。,r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v),3.4微分方程,eq1,eq2,为输入的微分方程组，cond1,cond2,为定解条件，v为自变量。,函数格式,eq1,eq2,等式描述中，表示不同阶次的导数。,Matlab与系统仿真,26,r1=dsolve(Dy-y/(2*x)=x3/y,y(1)=1,x)r1=1/3*(6*x4+3*x)(1/2),例1解微分方程，y(1)=1.,例2解微分方程，y(0)=1，y(1)=2.,r2=dsolve(D2y-3*Dy+2*y=x,y(0)=1,y(1)=2,x)r2=1/2*x+3/4-1/4*exp(2*x)*(exp(1)-3)/(exp(2)-exp(1)+1/4*exp(x)*(-3+exp(2)/(exp(2)-exp(1),Matlab与系统仿真,27,一、Fourier变换二、Laplace变换三、Z变换,3.5重要的积分变换,Matlab与系统仿真,28,一、Fourier变换,数学表示：函数格式：,F=fourier(f)f=ifourier(F),Matlab与系统仿真,29,二、Laplace变换,数学表示：函数格式：,L=laplace(f)f=ilaplace(L),Matlab与系统仿真,30,例：求下式的Laplace变换：,symstaL=laplace(t*exp(-a*t)L=1/(s+a)2,Matlab与系统仿真,31,数学表示：函数格式：,Z=ztrans(f)f=iztrans(Z),三、Z变换,Matlab与系统仿真,32,3.6数据的插值拟合,插值问题的提出,假设f(x)是一维给定函数，且在相异的一组n个自变量x1,x2xn点处的值为f1,f2fn，则由这些已知点的信息获得该函数在其他点上值的方法成为插值。,Matlab与系统仿真,33,一维数组的插值函数,Y1=interp1(x,y,x1,方法）,1）x,y两个向量分别表示给定的一组自变量和函数值数据；2）x1为一组新的插值点；y1为得出的这一组插值点的插值结果；,Matlab与系统仿真,34,3）插值方法一般可选linear（线性的），此项默认，两个点间简单采用直线拟合，故效果不光滑），cubic（三次曲线）和spline（三次样条插值，用分段光滑的曲线去插值，每一段都是三次多项式),一般建议使用后两种。,Matlab与系统仿真,35,例：假设已知的数据点来自下面的函数则可由下面的语句生成数据，并绘制出数据的折线图。,x=0:0.12:1;y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);plot(x,y,o)plot(x,y),Matlab与系统仿真,36,x=0:0.12:1;y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);x1=0:0.02:1;y1=interp1(x,y,x1);y2=interp1(x,y,x1,cubic);y3=interp1(x,y,x1,spline);y0=(x1.2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1);plot(x1,y1,:,x,y,o,x1,y0)plot(x1,y2,:,x,y,o,x1,y0)plot(x1,y3,:,x,y,o,x1,y0),理论,三种插值类型,插值点,原有数据,可见，这样的数据直接连线绘制出来的曲线十分粗糙，可以再选择一组插值点，然后直接调用interp1()函数进行插值近似。,Matlab与系统仿真,37,将3种不同拟合选项得到的结果与理论曲线比较：1）linear法最粗糙；2）spline最逼近理论值。,Matlab与系统仿真,38,二维数组的插值函数,z1=interp2(x0,y0,z0,x1,y1,方法）,1）x0,y0,z0为已知数据；2）x1，y1为插值点构成的新的网格参数；返回的z1矩阵为在插值点处的函数近似值；,Matlab与系统仿真,39,x,y=meshgrid(-3:0.6:3,-2:0.4:2);z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y);mesh(x,y,z)x1,y1=meshgrid(-3:0.2:3,-2:0.2:2);z1=interp2(x,y,z,x1,y1);mesh(x1,y1,z1)z2=interp2(x,y,z,x1,y1,spline);mesh(x1,y1,z2),Matlab与系统仿真,40,已知数据的图示线性选项插值结果图示,二、二维数组的插值拟合,Matlab与系统仿真,41,3.7线性规划(优化)问题,问题的提出,所谓线性规划，是指求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。,举例：1）最小运费问题2）最快旅行路线问题3）最优通信路由4）监测点最优布置点,Matlab与系统仿真,42,数学描述,式中：1）s.t.subjectto，约束条件，表示满足后面的关系。2）约束等式条件：3）约束不等式条件：4）变量的上界、下界：,Matlab与系统仿真,43,Linprog（）最优化工具箱中提供的函数,常用调用格式：,x,fopt=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,LB,UB),函数使用和参数说明：help,Matlab与系统仿真,44,helplinprogLINPROGLinearprogramming.X=LINPROG(f,A,b)attemptstosolvethelinearprogrammingproblem:minf*xsubjectto:A*x=b,X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq)solvestheproblemabovewhileadditionallysatisfyingtheequalityconstraintsAeq*x=beq.,Matlab与系统仿真,45,X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)definesasetoflowerandupperboundsonthedesignvariables,X,sothatthesolutionisintherangeLB=X=UB.UseemptymatricesforLBandUB，ifnoboundsexist.,X,FVAL=LINPROG(f,A,b)returnsthevalueoftheobjectivefunctionatX:FVAL=f*X.,Matlab与系统仿真,46,示例,考虑下面的4元线性规划问题,Matlab与系统仿真,47,解：,1）首先将之转换成最小化问题，将原目标函数乘以-1。则,2）再分析约束条件：,a）等式：,b）不等式：,3）边界值：由最后一条可写成：,Matlab与系统仿真,48,编程：,f=1,-2,1,-3;Aeq=1,1,3,1;Beq=6;A=0,-2,1,1;0,-1,6,-1;B=3;4;LB=zeros(4,1);UB=;x,fopt=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,LB,UB),Optimizationterminated.x=0.00001.00000.00005.0000fopt=-17.0000,Matlab与系统仿真,49,3.8数字信号处理问题,问题的提出,所谓“信号处理”，就是要把记录在某种媒体上的信号进行处理，以便抽取出有用信息的过程，它是对信号进行提取、变换、分析、综合等处理过程的统称应用广泛。,举例：电气工程