常微分方程CH-3-SUMMARY

,Chapter3一阶微分方程的解的存在定理,习题课,主要内容,解的存在与唯一性定理；解的延拓定理，饱和解的性状；解对初值与参数的连续依赖性及可微性定理；奇解。,重点解的存在与唯一性定理，解的延拓定理。,难点解的存在与唯一性定理的证明。,机动目录上页下页返回结束,基本要求,掌握解的存在与唯一性定理包括条件，结论及证明方法逐次逼近法并会应用逐次逼近法求近似解。掌握解的延拓定理和解的存在区间包括条件，结论。理解解对初值与参数的连续性及解对初始值的可微性。会求奇解。,机动目录上页下页返回结束,若,在,且唯一，,其中,上连续且,关于y满足利普希茨条件，则,的解在,1初值问题解的存在唯一性定理,上存在,机动目录上页下页返回结束,构造Picard序列,则,在,上一致收敛到,的唯一解。,IVP,方法：逐次逼近法,机动目录上页下页返回结束,初值问题,的真正解,与其第n次近似解,的误差估计为,应用：求近似解,机动目录上页下页返回结束,由存在唯一性定理确定的解一定,假设函数,在区域,内连续，且关于,满足局部的利普希茨条件。,2解的延拓定理,可以延拓为饱和解，,饱和解的最大存在区间必是,则,一个开区间,机动目录上页下页返回结束,(1)若G为有界区域，则,必为有限区间，且,(2)若G为无界区域，则,必为下列情形之一,机动目录上页下页返回结束,3解对初值和参数的连续依赖性定理,若,在区域,满足局部的利普希茨条件，,内连续，且关于,的唯一解,则,将连续依赖于初值,即,时，,在a,b上也有定义，且,(I),机动目录上页下页返回结束,若,在区域,满足局部的利普希茨条件，,内连续，且关于,的解,则,为,的连续函数。,解对初值的连续性定理,机动目录上页下页返回结束,的解,简单地，,趋近于,的解，,当,机动目录上页下页返回结束,若,在,且一致地关于y满足局部的利普希茨条件，,的唯一解,则,将连续依赖于初值,及参数,时，,在a,b上也有定义，且,(II),即,机动目录上页下页返回结束,内连续，,若,在,内连续，且一致地关于y满足局部的利普希茨条件，,的解,则,为,的连续函数。,解对初值和参数的连续性定理,机动目录上页下页返回结束,的解,简单地，,趋近于,的解，,当,机动目录上页下页返回结束,例,是初值问题,的解，,依赖于,(1),时，,所以,存在，且为,的解。,机动目录上页下页返回结束,4解对初值的可微性定理,及,都在区域,内连续，,作为,的函数在它的,存在范围内是连续可微的。,若函数,则,的解,机动目录上页下页返回结束,Exercise3.1,4.,所以在,显然，,为方程过(0,0)的解.,求解,所以过(0,0)的所有解为,及,上存在唯一性定理条件满足.,例题选讲,机动目录上页下页返回结束,5.,(i)y=y(x)为,的解当且仅当y=y(x)为,(1),(2),的连续解。,机动目录上页下页返回结束,(ii)构造Picard序列,(iii),则,机动目录上页下页返回结束,(iv)y(x)为积分方程(2)的连续解.,(v)唯一性.,令,则,机动目录上页下页返回结束,6.Proof:令,则,及,所以,或等价地,由此可得,机动目录上页下页返回结束,6.Proof:令,则,及,所以,由此可得,机动目录上页下页返回结束,同理可证，若,则,统一地，,设K为非负常数，f(t)和g(t)为在,则,上的连续非负函数，且,机动目录上页下页返回结束,设y(t)及z(t)为给定IVP的任意两个解,则,由Gronwall不等式,有,机动目录上页下页返回结束,因此,机动目录上页下页返回结束,7.若不然，设有两个不同的解,与,则存在,使得,不妨设,机动目录上页下页返回结束,9.,(1)对任意固定的,(2),由归纳法证明,显然，当n=1时,(1)成立，由于,假设(1)当n=k时成立，证n=k+1时成立.,(1),事实上，,机动目录上页下页返回结束,则,(3),由此可得,机动目录上页下页返回结束,(5)设,及,则由,可得,由于N0，,使得,试证明方程,存在唯一解。,华中科技大学200