现代控制理论绪论 1

现代控制理论,任课教师：陆军（406教研室）联系方式：82519594lujun_larry,教材：线性系统理论郑大钟清华大学出版社参考书：线性系统理论和设计仝茂达中国科学技术大学出版社,LinearSystemTheoryandDesignChiT.Chen,1999,多变量频率域控制理论高黛陵清华大学出版社,绪论,一控制理论发展过程,1古典控制理论,研究对象：单变量线性定常系统（主要）；研究方法：频率法；分析手段：复变函数理论和拉氏变换；实现工具：各种图表，如Bode图、根轨迹、Nyquist曲线等。,古典控制理论：建立在频率法和根轨迹法基础上的理论。,2现代控制理论,现代控制理论起源于60年代，以下述三个方面作为其形成的标志用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法；最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划；随机系统理论中的Kalman滤波技术。,卡尔曼：RudolfEmilKalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1960年卡尔曼因提出著名的卡尔曼滤波器而闻名于世。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。1960年卡尔曼还提出能控性的概念。并利用对偶原理导出能观测性概念，在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。为此获电气与电子工程师学会(IEEE)的最高奖荣誉奖章。,现代控制理论特点：,研究对象：多变量线性系统和非线性系统；研究方法：时域法，特别是状态空间方法；分析手段：现代数学；实现工具：计算机。注意：尽管古典控制理论和现代控制理论各有特点，但二者是密切相关的。,亚历山大李亚普诺夫（1857年6月6日1918年11月3日），俄罗斯应用数学家，研究包括微分方程、力学、数学物理和概率论。1892年的博士论文运动稳定性的一般问题是经典名著。其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来。在许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了稳定性理论的基础，也是研究常微分方程定性理论的重要手段。,20世纪50年代，经典控制理论,20世纪6070年代，状态空间法、最优控制等,20世纪8090年代，鲁棒控制、控制等,目前已形成了多个重要分支，包括系统辨识、自适应控制、综合自动化、非线性系统理论、模式识别与人工智能、智能控制等。,现代控制理论,讨论研究的内容,主要学派：状态空间法几何法代数理论多变量频域理论频域设计方法：英国学派Rosenbrock,MacFarlane多项式矩阵理论:Rosenbrock,Wolovich本课程的主要内容：状态空间法多项式矩阵理论,二线性系统理论概述,1线性系统理论的研究对象,研究对象：线性系统（线性定常系统和线性时变系统）。线性系统的基本特征是满足叠加原理。,2线性系统理论的主要任务,（1）系统数学模型的建立时间域模型：微分方程组或差分方程组。频率域模型：传递函数和频率响应。对应于这两种模型，发展和形成了线性系统理论中的两类方法状态空间法和复频域方法。,（2）系统分析线性系统分析包含定量分析和定性分析。（3）系统设计当一个系统不能满足希望的性能时，就需要对系统进行干预、调节或控制来改变原有系统，使改变后的系统满足性能要求。这样一个完整的过程称为控制系统设计或控制系统综合。,主要学习内容,Ch0绪论Ch1线性系统的时间域分析：状态空间法Ch2线性定常系统的复频域分析：传递函数矩阵的矩阵分式描述(MFD)Ch3传递函数矩阵的结构特性Ch4传递函数矩阵的状态空间实现Ch5线性定常系统的多项式矩阵描述(PMD)Ch6线性定常反馈系统的分析与综合：复频域方法,三数学基础：多项式矩阵理论,1一些基本概念多项式：多项式矩阵：元为多项式的矩阵注1：多项式的集合不构成域，是环；因其对乘逆运算不封闭；注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分式域，记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。,奇异和非奇异：对方多项式矩阵Q(s)线性相关和线性无关：对象是有理分式域中的一组多项式向量,秩：与通常矩阵秩的定义相同,单模矩阵：方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。性质：(1)Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵；(2)Q(s)为单模阵Q(s)非奇异；(3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；(4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵。,初等变换：(1)行（列）交换；(2)用一非零实或复数乘以某行或列；(3)用某行(列)乘以一个多项式加到另一行(列)上。注意：（1）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初等矩阵；（2）初等矩阵都是单模矩阵；（3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或）右乘单模矩阵；（4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。,2埃尔米特形,多项式矩阵的规范形之一。Hermite形的特征，见书；化为Hermite的算法：只通过一系列的行初等运算即可化为行Hermite形，即性质：对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其Hermite形,3公因子和最大公因子,公因子的定义相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子.相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多项式矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子.,gcd(最大公因子)的定义gcrd:(1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子;(2)R(s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s)则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd.gcld:(1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子;(2)Q(s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s)则称Q(s)是B(s)和A(s)的gcld.,如何求gcd以gcrd为例.,Why:,Gcd的性质以gcrd为例(1)gcrd不唯一.若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵,则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd.Why:,(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrdR2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd则R1(s)非奇异R2(s)非奇异R1(s)单模R2(s)单模(3)(4)gcrdR(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)(5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.,4互质性,右互质和左互质D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd.若gcrd为单模阵,则称D(s)和N(s)右互质.A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld.若gcld为单模阵,则称A(s)和B(s)左互质.右互质判据判据1:贝佐特等式判据D(s),N(s)右互质存在X(s),Y(s)多项式矩阵使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I,证明:必要性:已知D(s),N(s)右互质，证等式成立充分性：等式成立，证D(s),N(s)右互质令R(s)为D(s),N(s)的一个gcrd.只要证R(s)单模。,判据2：秩判据判据3：非右互质判据,Gcrd构造关系式的一个性质,5列次数和行次数,次数多项式的次数：多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。,如,多项式矩阵的列（行）次表示式(1)列次表示式上例中的M(s)可表示为一般地，,(2)行次表示式,6既约性,既约性的定义此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。M(s)列既约：M(s)行既约：注：列既约和行既约之间无必然的联系；M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。,非既约矩阵的既约化通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。实质：降低行或列的次数含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。实现既约化以后，次数不能被降低了。,既约性判据如果已求出detM(s),则可利用定义判断；利用列（行）次表示式,7Smith形,史密斯形的特征,特征：