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计算方法,湖南大学电气与信息工程学院,第六章常微分方程初值问题的数值解法,计算方法课程组,定理：若f(x,y)在某闭区域R：,上连续，且在R域内满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在正数L，使得对于R域内的任意两值y1,y2，下列不等式成立：,则上述初值问题的连续可微的解y(x)存在并且唯一。,一阶常微分方程的初值问题:,引言,6.1基本离散方法,6.2Runge-Kutta方法,6.3线性多步法,6.4收敛性与稳定性,6常微分方程数值解法,6.5微分方程组的数值处理,6.6高阶微分方程的数值处理,考虑一阶常微分方程的初值问题:,例如：,其解析解为：,6.1基本离散方法,但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。,例如：,其解析解为：,很难得到其解析解,要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1e，反复将步长折半计算，直至Dn)上产生的扰动为，如果：,单步法的稳定性（续）,定义：设在节点xn处用数值算法得到的理想数值解为yn，而实际计算得到的近似解为，称差值：,为第n步的数值解的扰动。,则称该数值方法是稳定的。,单步法的稳定性（续）,欧拉法：,由于函数f(x,y)的多样性，数值稳定性的分析相当复杂，通常只研究模型方程,考察模型方程：,即：,假设在节点值yn上有扰动n，在节点值yn+1上有扰动n+1，且n+1仅由n引起（即：计算过程中不再引起新的误差）,欧拉法稳定,即：,欧拉法稳定的条件：,针对模型方程：的显式欧拉法：,化简得：,隐式欧拉法：,考察模型方程：,即：,化简为：,假设yn上有扰动，则yn+1的扰动为：,隐式欧拉法稳定,，上式均成立，所以：,隐式欧拉法稳定是恒稳定的,6.5一阶常微分方程组,显式欧拉法,隐式欧拉法,梯形公式欧拉法,以m=2为例,改进的欧拉公式,四阶龙格-库塔公式,6.6高阶微分方程的初值问题,一般通过引入新的变量，将高阶微分方程化为一阶微分方程组的方法进行求解,m阶常微分方程：,用变量替换可以将上述的高阶微分方程转化为一阶微分方程组,设：,初始条件为：,则m阶
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