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文档简介
专题三实直线上点集与连续函数,开集与闭集,点集上连续函数与一致连续函数,(区间只是点集的一类),有界点集与无界点集,(1)如果存在MR1,使xA,有xM,则称M为数集A的一个上界;,1)A为有界数集M0,使xA,有|x|M.,2)如果数集A有上(下)界,那么它必有无穷多个上(下)界。,注:,(3)如果数集A既有上界又有下界,则称数集A为有界集。,(2)如果存在mR1,使xA,有xm,则称m为数集A的一个下界;,定义1(有界集)设AR1,有界点集与无界点集,注:,(1)如果a为数集A的一个上(下)确界,则存在数列xnA,使得。,定义2(确界)设AR1使非空数集。(1)如果存在一个实数,满足:1)xA,有x,2)0,x0-则称为A的上确界(或最小上界)。记作:,(2)如果存在一个实数,满足:1)xA,有x,(2)0,x00,称开区间(a,a+)=O(a,)为a的邻域。,直线上包含a的任一开区间(,)均可称为点a的邻域,(2)设aE,若存在a的一个邻域(,),使得(,)E,则称a是E的内点;,(4)aR(a可属于E,也可不属于E),如果a的任何邻域都既含E的点,又含非E的点,则称a为E的边界点.,(5)aR,(a可属于E,也可不属于E),如果a的任一邻域中含有E的异于a的点,则称a为E的极限点(或聚点).,(6)设aE,若存在a的某一邻域内不含有E的异于a的点,则称a是E的孤立点;如果E中的所有点都是孤立点,则称E是孤立点集;,注:,1)孤立点属于边界点;点集的内点一定是聚点;,4)有限点集的点都是孤立点,没有聚点,它是孤立点集.,2)集合的聚点、边界点不一定属于这个集合;,3)若aE,但a不是E的聚点,则a必为E的孤立点,5)可列点集除聚点外都是孤立点。若聚点不属于该可列点集,则它是孤立点集。,可列点集的聚点是0A,它是孤立点集。,例如,区间(0,1)内的每个点及0,1都是其聚点,但0与1都不属于(0,1),定理1点a是集E的极限点(聚点),a的任一邻域中含有E中无限多个点(根据定义),xnE,xna,使xna(n)(取邻域半径n=1/n),证明:“”,a极限点nZ,取n=1/n,在a的邻域(a-n,a+n)存在xnE,xna,即xn-a0,N,当nN时,有xn-a0,使O(x,)ECEC中没有E的极限点,“”只要证明EC是开集。事实上,xEC,则xE.由于E的所有极限点属于E,故x不是E的极限点,推论2:E是闭集,推论3非空集E为闭集,对于xnE,xnx(n)时,有xE。,E中任何收敛点列的极限也属于E。,(xEE),推论4E=E是闭集,(E=E),有限点集是闭集(因为有限点集是孤立点集,其导集为空集),注:,定理6设E是闭集,G是开集,则1)G-E为开集;2)E-G为闭集.,G-F=GFCF-G=FGC,无限多个闭集的并不一定是闭集,例如,(0,1)区间可以看成无限多个单点集(是闭集)的并集,但(0,1)区间是开集。,定义6设F是直线上的闭集,则F的余集FC的构成区间称为F的构成区间的余区间(或邻接区间),定理8设F是直线上的闭集,则F可以由直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间(即的区集)所得。,定理7闭集的基本性质,1)空集与直线R是闭集,2)任意多个闭集的交仍是闭集,3)有限多个闭集的并是闭集,注:,例康托(cantor)三分集的构造与性质,将区间0,1三等分,挖去中间的开区间(1/3,2/3);再将剩余的两个闭区间0,1/3与2/3,1分别三等分,挖去各自中间的开区间(1/32,2/32)与(7/32,8/32);再将剩余的四个闭区间0,1/32、2/32,3/32、6/32,7/32及8/32,1分别三等分,挖去各自中间的开区间(1/33,2/33)(7/33,8/33)(19/33,20/33)与(25/33,26/33);,记G0=(1/3,2/3)(1/32,2/32)(7/32,8/32)(1/33,2/33)(7/33,8/33)(19/33,20/33)(25/33,26/33),则集合K=0,1-G0称为康托三分集合,被挖去的集合,G0是开集,K是闭集,(2)K是不可数集,且K=.(利用闭区间套定理),证明K是不可数集。,证:(反证法)设K中的全体实数构成的集合是可数的,则它们可以排列一个无穷序列:x1,x2,xn,将区间0,1三等分,记不含x1的子区间为a1,b1;再将区间a1,b1三等分,记不含x2的子区间为a2,b2;如次下去,可得一闭区间列an,bn,使xnan,bn(n=1,2,)且:1)a1,b1a2,b2an,bn2)区间长度bn-an=1/3n0(n),但xnan,bn(n=1,2,),所以cxn(n=1,2,)这与假设矛盾。,定义6设ER,x0E.f(x)是定义在E上的一个函数.,二、点集上的连续函数与一致连续函数,1.(处处)连续函数与一致连续函数的概念,如果0,=(,x0)0,使当|x-x0|0,使当|x-x0|时,有|f(x)-f(x0)|,则称f(x)在E上一致连续.这时也称f(x)为E上的一致连续函数,定理1设ER,x0E.f(x)是定义在E上的一个函数.,f(x)在点x0处连续,对xnE,xnx0,有,f(x)在E上一致连续,对xnE,xn”E,当|xn-xn”|0时,有|f(xn)-f(xn”)|0.,函数在点集E上的连续性与一致连续性是两个不同的概念:,注:,连续性:只要求E中各点能分别找到=(,x0),适合|f(x)-f(x0)|的即可;它描述了函数在E上的局部性质。,一致连续性:必须要求E中所有点都能找到适合|f(x)-f(x0)|0)上一致连续,但在E=(0,1)上不一致连续.,4)对a,+上的连续函数,如果当x+时,f(x)有极限.则f(x)在a,+也是一致连续的.,3)对于(a,b)内的连续函数只要f(a+0),f(b-0)都存在,则f(x)在(a,b)内一致连续.,定理2设FR是有界闭集,f(x)是F上的连续函数,则(1)f(x)在集F上必有界;(2)f(x)在集F上能够取得最大值与最小值;,2.有界闭集上连续函数的性质,定理3(康托定理)设FR是
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