泛函分析-直线点集与连续函数1

专题三实直线上点集与连续函数,开集与闭集,点集上连续函数与一致连续函数,（区间只是点集的一类）,有界点集与无界点集,（1）如果存在MR1，使xA，有xM，则称M为数集A的一个上界；,1）A为有界数集M0,使xA,有|x|M.,2）如果数集A有上（下）界，那么它必有无穷多个上（下）界。,注：,（3）如果数集A既有上界又有下界，则称数集A为有界集。,（2）如果存在mR1，使xA，有xm，则称m为数集A的一个下界；,定义1（有界集）设AR1,有界点集与无界点集,注:,（1）如果a为数集A的一个上（下）确界，则存在数列xnA,使得。,定义2（确界）设AR1使非空数集。（1）如果存在一个实数，满足：1）xA，有x，2）0,x0-则称为A的上确界(或最小上界)。记作：,（2）如果存在一个实数，满足：1）xA，有x，（2）0,x00,称开区间(a,a+)=O(a,)为a的邻域。,直线上包含a的任一开区间(,)均可称为点a的邻域,(2)设aE,若存在a的一个邻域(,),使得(,)E，则称a是E的内点；,(4)aR（a可属于E,也可不属于E),如果a的任何邻域都既含E的点,又含非E的点，则称a为E的边界点.,(5)aR,(a可属于E,也可不属于E),如果a的任一邻域中含有E的异于a的点，则称a为E的极限点（或聚点）.,(6)设aE,若存在a的某一邻域内不含有E的异于a的点,则称a是E的孤立点；如果E中的所有点都是孤立点，则称E是孤立点集；,注：,1)孤立点属于边界点;点集的内点一定是聚点;,4)有限点集的点都是孤立点,没有聚点,它是孤立点集.,2)集合的聚点、边界点不一定属于这个集合；,3)若aE，但a不是E的聚点，则a必为E的孤立点,5)可列点集除聚点外都是孤立点。若聚点不属于该可列点集,则它是孤立点集。,可列点集的聚点是0A,它是孤立点集。,例如,区间(0,1)内的每个点及0,1都是其聚点,但0与1都不属于(0,1),定理1点a是集E的极限点(聚点),a的任一邻域中含有E中无限多个点（根据定义）,xnE,xna,使xna(n)(取邻域半径n=1/n),证明：“”,a极限点nZ,取n=1/n,在a的邻域(a-n,a+n)存在xnE,xna,即xn-a0,N,当nN时,有xn-a0，使O(x,)ECEC中没有E的极限点,“”只要证明EC是开集。事实上，xEC，则xE.由于E的所有极限点属于E，故x不是E的极限点,推论2：E是闭集,推论3非空集E为闭集,对于xnE,xnx(n)时,有xE。,E中任何收敛点列的极限也属于E。,(xEE),推论4E=E是闭集,(E=E),有限点集是闭集（因为有限点集是孤立点集，其导集为空集）,注：,定理6设E是闭集，G是开集，则1）G-E为开集；2)E-G为闭集.,G-F=GFCF-G=FGC,无限多个闭集的并不一定是闭集,例如，（0，1）区间可以看成无限多个单点集（是闭集）的并集，但（0，1）区间是开集。,定义6设F是直线上的闭集，则F的余集FC的构成区间称为F的构成区间的余区间（或邻接区间）,定理8设F是直线上的闭集，则F可以由直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间（即的区集）所得。,定理7闭集的基本性质,1）空集与直线R是闭集,2）任意多个闭集的交仍是闭集,3）有限多个闭集的并是闭集,注：,例康托(cantor)三分集的构造与性质,将区间0,1三等分，挖去中间的开区间（1/3,2/3);再将剩余的两个闭区间0,1/3与2/3,1分别三等分,挖去各自中间的开区间(1/32,2/32)与(7/32,8/32);再将剩余的四个闭区间0,1/32、2/32,3/32、6/32,7/32及8/32,1分别三等分,挖去各自中间的开区间(1/33,2/33)(7/33，8/33)(19/33,20/33)与(25/33,26/33);,记G0=(1/3,2/3)(1/32,2/32)(7/32,8/32)(1/33,2/33)(7/33,8/33)(19/33,20/33)(25/33,26/33),则集合K=0,1-G0称为康托三分集合,被挖去的集合,G0是开集,K是闭集,(2)K是不可数集,且K=.（利用闭区间套定理）,证明K是不可数集。,证：（反证法）设K中的全体实数构成的集合是可数的，则它们可以排列一个无穷序列：x1,x2,xn,将区间0,1三等分,记不含x1的子区间为a1,b1；再将区间a1,b1三等分，记不含x2的子区间为a2,b2；如次下去,可得一闭区间列an,bn,使xnan,bn(n=1,2,)且：1)a1,b1a2,b2an,bn2)区间长度bn-an=1/3n0（n）,但xnan,bn(n=1,2,)，所以cxn(n=1,2,)这与假设矛盾。,定义6设ER,x0E.f(x)是定义在E上的一个函数.,二、点集上的连续函数与一致连续函数,1.(处处）连续函数与一致连续函数的概念,如果0,=(,x0)0,使当|x-x0|0,使当|x-x0|时,有|f(x)-f(x0)|,则称f(x)在E上一致连续.这时也称f(x)为E上的一致连续函数,定理1设ER,x0E.f(x)是定义在E上的一个函数.,f(x)在点x0处连续,对xnE,xnx0,有,f(x)在E上一致连续,对xnE,xn”E,当|xn-xn”|0时,有|f(xn)-f(xn”)|0.,函数在点集E上的连续性与一致连续性是两个不同的概念：,注：,连续性：只要求E中各点能分别找到=(,x0),适合|f(x)-f(x0)|的即可；它描述了函数在E上的局部性质。,一致连续性：必须要求E中所有点都能找到适合|f(x)-f(x0)|0)上一致连续,但在E=(0,1)上不一致连续.,4)对a,+上的连续函数,如果当x+时,f(x)有极限.则f(x)在a,+也是一致连续的.,3)对于(a,b)内的连续函数只要f(a+0),f(b-0)都存在,则f(x)在(a,b)内一致连续.,定理2设FR是有界闭集,f(x)是F上的连续函数，则(1)f(x)在集F上必有界;(2)f(x)在集F上能够取得最大值与最小值;,2.有界闭集上连续函数的性质,定理3（康托定理）设FR是