数学分析1-34-函数

2020/5/30,1,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第三节,集合与函数,2020/5/30,2,元素a属于集合M,记作,元素a不属于集合M,记作,一、集合,1.定义及表示法,定义1.,具有某种性质的事物的全体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:M为数集,表示M中排除0与负数的集.,2020/5/30,3,2.表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p与q互质,实数集合,x为有理数或无理数,(3)公式法：,2020/5/30,4,1.区间,3.常用集合,2.邻域,2020/5/30,5,是B的子集,或称B包含A,4.集合之间的关系及运算,定义2.,则称A,若,且,则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,若,设有集合,记作,记作,必有,2020/5/30,6,定义3.给定两个集合A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,或,B在A中的余集,2020/5/30,7,二、函数概念,1.【函数定义】设数集D包含于R，若,因变量,自变量,函数,定义域,函数值,值域,则f称为为定义在D上的函数，通常简记为:,2020/5/30,8,2.【几个特殊的函数举例】,(1)【常数函数】,c为常数,图形是一条平行于轴的直线,(2)【绝对值函数】,2020/5/30,9,(3)【符号函数】,或,2020/5/30,10,(4)【取整函数】y=xx表示不超过的最大整数,阶梯曲线,该函数是数论中一个极为重要的函数,3.5,-3.5,2020/5/30,11,(5)【狄利克雷函数】,2020/5/30,12,(6)【取大（小）函数】,2020/5/30,13,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为分段函数.,(7)【分段函数】,2020/5/30,14,三、具有某种特性的函数,1.【有界函数】,上界,下界,(1)【定义】,则称函数f(x)在X上有界.否则称无界.,界不唯一,2020/5/30,15,有界,无界,【结论】,f(x)在X上无界,2020/5/30,16,2【单调函数】,则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.,2020/5/30,17,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.,2020/5/30,18,3【函数的奇偶性】,偶函数,图象关于y轴对称,称f(x)为D上的偶函数,2020/5/30,19,奇函数,图象关于原点对称,则称函数f(x)为D上的奇函数,2020/5/30,20,偶函数,双曲余弦,记,2020/5/30,21,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,2020/5/30,22,4【函数的周期性】,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,且,则称f(x)为周期函数,若,称l为周期,【定义】,2020/5/30,23,周期为,周期为,【注】周期函数不一定存在最小正周期.,【例如】常量函数,2020/5/30,24,【例2】,【解】,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,特别注意,狄利克雷函数,2020/5/30,25,四、函数的四则运算,2020/5/30,26,对映射,若,则称f为满射;,若,有,则称f为单射;,若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.,满射,单射,双射,五、反函数,2020/5/30,27,五、反函数,【定义】,若函数,为一、一映射（单射,满射）,则存在逆映射,称此映射,为f的反函数.,2020/5/30,28,【注】,2020/5/30,29,六、复合函数,1.【复合函数】,(1)【定义】,【说明】通常f称为外层函数，g称为内层函数.,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,u称为中间变量.,2020/5/30,30,(2)【注意】,2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,三重复合函数,1）构成复合函数的条件,不可少.,（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D)一定包含在外层函数的定义域D1内）,2020/5/30,31,七.初等函数,常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数这六种函数,称为基本初等函数.,1.基本初等函数,2020/5/30,32,2020/5/30,33,2020/5/30,34,2020/5/30,35,2020/5/30,36,2020/5/30,37,2020/5/30,38,2020/5/30,39,【定义】由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,否则称为非初等函数.,2.初等函数,2020/5/30,40,八.平面曲线的其他表示方法,平面曲线在直角坐标系下，,1.参数方程形式,有些表示比较复杂，使用不方便，往往用参数方程形式或极坐标形式表示.,2020/5/30,41,2.极坐标形式,2020/5/30,42,【例1】,【解】,2020/5/30,43,综上所述,2020/5/30,44,3.【非初等函数举例】,符号函数,取整函数,当,狄里克雷函数,分段函数（略）：一般是非初等函数.,2020/5/30,45,九、小结,1.基本概念集合,区间,邻域。,2.函数的概念,3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.,4.反函数,5.复合函数，初等函数,2020/5/30,46,且,练习题,证明,证:令,则,由,消去,得,