第7章5-8节二阶微分方程

一阶微分方程内容回顾：,1、可分离变量方程（主要步骤）,（1）分离变量:,（2）两端积分:,2、齐次方程,（解题思路：通过变量代换转化成可分离变量型）,解：分离变量，得,两端积分:,3、一阶线性微分方程.,（1）一阶齐次线性方程,齐次方程的通解为,2、一阶非齐次线性方程,非齐次线性方程的通解：,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,也可为,第七章微分方程,第五节可降阶的高阶微分方程,1、型的微分方程,对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解,例1求方程的通解,解因为，所以,型的微分方程,一、,例2.,解:,推广：,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,型的微分方程,二、,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程,令,例4.求解,解:,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,例5.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,在实际解高阶微分方程时，还可考虑一些配导数的技巧,例6.求解,解：,方程的左边可写成,故得：,分离变量后积分,得原方程的通解,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,内容小结,思考：,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,第六节高阶线性微分方程,教学内容：123重点与难点,理解线性方程解的结构,二阶线性微分方程举例,线性齐次方程解的结构,线性非齐次方程解的结构,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.,提示:设电路中电流为i(t),上的电量为q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串,极板,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,化为关于,的方程:,故有,n阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七节常系数齐次线性微分方程,(叠加原理),1、的解的性质,2、的通解的结构,3、如何求的通解？,(r为待定常数),设有一特解：,代入原方程得,特征方程：,其根称为特征根.,特征根：,故可根据特征根寻求线性无关的特解，进而得通解。,结论:,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,1、求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,2、求以为通解的微分方程。,答案:,思考与练习：,第八节常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程:,1)线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是的通解,定理2.,一、二阶常系数非齐次线性微分方程,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,待定系数法,求特解的方法,待定系数法,特解,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,1.(填空)设,时可设特解为,2.若微分方程变为如何设特解？,练习题：,通解:,1、求,的通解.,2、求,的通解.,3、求,的通解.,4、求,的通解.,通解:,通解:,通解:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,2、,例3.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例4.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,定理3.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),例5：设的特解形式:,例6.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,内容小结,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,1、型的微分方程,2、型的微分方程,3、型的微分方程,对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解,设,化为一阶方程,令,故方程化为,第七章（5-8）高阶微分方程小结,4、二阶常系数齐次线性微分方程:,特征方程:,实根,5、二阶常系数线性非齐次微分方程:,通解结构为,特解,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,6、,特征方程：,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,则微分,(r为待定常数),特解：,特征根：,二阶常系数线性微分方程的特征方程与特征根,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,1、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式.,Q(x)为m次待定系数多项式,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故