工科数学分析-函数的极限

,第一章,二、自变量趋于有限值时函数的极限函数极限的局部性质函数极限的有理运算法则函数极限的复合运算法则,第三节,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容:,机动目录上页下页返回结束,函数的极限（1）,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,定义1.设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线y=A为曲线,的水平渐近线,机动目录上页下页返回结束,A为函数,直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.,两种特殊情况:,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,机动目录上页下页返回结束,例1.证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,机动目录上页下页返回结束,二、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例.测量正方形面积.,面积为A),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度,要求,确定直接观测值精度:,机动目录上页下页返回结束,定义2.设函数,在点,的某去心邻域内有定义,当,时,有,则称常数A为函数,当,时的极限,或,即,当,时,有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界（TH3.2),(locallybounded),这表明:,机动目录上页下页返回结束,例3.证明,证:,故,对任意的,当,时,因此,总有,机动目录上页下页返回结束,例4.证明,证:,故,取,当,时,必有,因此,机动目录上页下页返回结束,例5.证明,机动目录上页下页返回结束,例6.证明:当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证.,必有,机动目录上页下页返回结束,定义3.左极限与右极限(onesidedlimits),左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,显然:,机动目录上页下页返回结束,例7.设函数,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理3.,因为,显然,所以,不存在.,机动目录上页下页返回结束,三.函数极限的局部性质,定理3.3.(保号性定理)若,且A0,证:已知,即,当,时,有,当A0时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A0),机动目录上页下页返回结束,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,推论1:,分析:,机动目录上页下页返回结束,推论2.若在,的某去心邻域内,且,则,证:用反证法.,则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),思考:若定理2中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设A0,条件矛盾,故,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.函数极限的,或,定义及应用,2.函数极限的性质:,局部有界和局部保号性定理,左右极限等价定理,思考与练习,1.若极限,存在,2.设函数,且,存在,则,例2,是否一定有,第四节目录上页下页返回结束,？,（归结原则）TH3.1.函数极限和数列极限的关系,例8.证明,四、极限的四则运算法则,则有,定理3.4若,机动目录上页下页返回结束,(B0),提示:利用极限的定义易证.,五、复合函数的极限运算法则,定理3.5设,且x满足,时,又,则有,证:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.求极限的法则,（1）两边夹法则(2)极限四则运算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,机动目录上页下页返回结束,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,机动目录上页下页返回结束,圆扇形AOB的面积,六.两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,故有,注,注目录上页下页返回结束,例2.求,解:,例3.求,解:令,则,因此,原式,机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,2.,证:当,时,设,则,机动目录上页下页返回结束,当,则,从而有,故,说明:此极限也可写为,时,令,机动目录上页下页返回结束,例5.求,解:令,则,说明：若利用,机动目录上页下页返回结束,则,原式,小结:两个重要极限,或,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,填空题(14),第七节目录上页下页