第15讲-一阶及可降阶微分方程n

第4章,1,微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,2,4.1微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第十二章,引例1.,3,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,引例2.列车在平直路上以,4,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,微分方程的基本概念,5,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,6,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例1.验证函数,7,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,8,求所满足的微分方程.,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,例3试求以下列函数为通解的微分方程：,9,10,11,转化,4.2一阶微分方程,解分离变量方程,4.2.1可分离变量方程,分离变量方程的解法:,积分,例1求下列微分方程的通解,14,例2.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),15,例3.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,17,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,18,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),19,例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,21,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,22,练习:,解法1分离变量,即,(C0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),27,顶到底的距离为h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得,28,29,4.2.3、一阶线性微分方程,1、一阶线性微分方程,2、伯努利方程,第四章,30,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,31,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,32,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,33,例2解微分方程,解：如果将上式写为,显然不是线性微分方程.,如果改写为,将看作的函数，则是形如,的线性微分方程,34,35,例3.求方程,的通解.,解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,36,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),37,例3.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,38,内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,39,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,40,备用题,1.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,41,4.3可降阶高阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,42,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,43,例1.,解:,44,例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力F均匀地减,直到t=T时F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0时,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分,得,45,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,46,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,47,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,48,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,49,例4.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,50,例5.解初值问题,解