略谈数学文化

略谈数学文化,孙福明常州市教育教研室2011年3月9日,2020/5/30,2,什么是数学文化？例谈数学文化数学文化的教育意义,2020/5/30,3,汉语中的“文化”词源：易贲：“观乎天文以察时变，观乎人文以化成天下。”“人文化成”包孕“文化”基本含义刘向（汉）说苑指武：“圣人之治天下也，先文德而后武力。凡武之兴，为不服也；文化不改，然后加诛。”“文化”指文治教化,什么是文化,2020/5/30,4,西方“culture”来自拉丁语动词“colo”，意为“耕耘”，引申为耕作、培养、教育而发展出来的事物。突指人类创造过程所成之事物，与自然存在的事物相对。英汉大辞典：“Culture”的中译为“文化，文明；教养，修养；陶冶，教育”“Civilization”之中译则为“文明；(特定地区、国家和时期的)文化、社会和生活方式；开化，教化(过程)”,什么是文化,2020/5/30,5,辞海：“文化”：“广义指人类在社会实践过程中所获得的物质、精神的生产能力和创造的物质、精神财富的总和。狭义指精神生产能力和精神产品，包括一切社会意识形态：自然科学、技术科学、社会意识形态。”,什么是文化,2020/5/30,6,“文化”其它定义列举成分定义法“，包括知识、信仰、艺术、道德、法律、习俗和人作为社会的一个成员所获得的能力与习惯的复杂整体。”英国，爱德华伯内特泰勒，文化的起源，1871功能与来源定义法“文化是与人们看待和解释世界、把自己组织起来、处理自身的事务、提高和丰富生活，以及在世界中定位自身等有关的有机的和动态的整体。”加拿大，D保罗谢弗，文化引导未来“文化是人类生活的样法。”梁漱溟，东西文化及其哲学哲学的角度“文化是一个标志着人类在真善美诸方面的发展水平的哲学范畴，”许苏民，文化哲学,什么是文化,2020/5/30,7,文化的内部层次（文化结构）四分法物质文化、制度文化、行为文化、心态文化三分法物质文化、制度文化、精神文化其它分法,文化的结构,2020/5/30,8,8,“数学文化”的内涵,狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系。,2020/5/30,9,数学文化包含两个方面一是作为人类文化子系统的数学，它自身的发生、发展的规律，以及它自身的结构；二是它与其它文化的关系，与整个人类文明的关系。,“数学文化”的两个方面,2020/5/30,10,数学要做好的数学，有价值的数学，有意义的数学，有创新的数学。判断的标准文化的视角如果把数学看成仅仅是逻辑，仅仅是形式，仅仅是思想的体操，就会很少注意文化层面的观点，那么先进的数学文化就会推动数学发展，落后的数学文化就会拖拉数学的进步要了解数学的文化背景，掌握数学成就的文化价值，挖掘数学结果的文化品位，用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化，发展现代数学，弘扬世界的文化,数学文化：数学的文化观,2020/5/30,11,二、例谈数学文化,2020/5/30,12,不同的国家的政治制度，决定了学术氛围、数学走向古希腊的数学和中国古代的数学是两种不同文化背景下产生的古希腊的平等是奴隶主之间的民主政治（虽然是少部分人的民主）。如你要说服别人，大家要选举，平等的学术交流等，就需要构建一个公理化的数学体系我国古代是封建君王的政治，如：尽管春秋战国时期学术非常繁荣，但九章算术是管理国家的官方的文书，是在讲怎么样管理国家，如如何丈量田亩、征税、管理土方等。理性思维：如对顶角相等（A=B）的结论，中国人一看就明白，不要证明。但是古希腊的几何原本是这样证明：就是A+C是一个平角，B+C也是平角，公理3等量减等量，把C减掉，A=B。,数学文化：与时代、国家政治制度相关,2020/5/30,13,概率的产生文化的背景，理性重要还是实用重要？巴斯卡跟费马1645年通信，就提到一个事情：有一笔赌金，甲乙两个人竞赌，输赢的概率都一样，都是1/2，谁先能够连赢累计达到5盘，就获得这笔赌金。但是一个特别的原因，突然终止了，此时甲赢了4局，乙赢了3局，问这笔赌金应该如何配？中国打麻将有没有产生概率论？没有。为什么？就是因为中国人重实用，功利性的，所以赢了就结束了，不深究，不细究。缺乏非常细致入微的思考。这种数学思考非常重要，数学的发展全靠这种功夫,数学文化：与时代、国家政治制度相关,2020/5/30,14,中国的传统数学能够用，实用，思辩精神不够中国现在的学生逻辑计算都很好，反而是西方国家学生的逻辑不如我们乾隆朝代开始的知识分子热衷考据。考据的文化就是一种微观的演绎的方法。考据的核心就是重证据，讲推理。数学有两个侧面，一个是创造性的思考，一个是逻辑的证明，两者不可或缺比逻辑更重要的创造精神，发现新的数学概念，数学问题的精神“数学是一个思想的体操”？数学就是做体操而已，有什么用处都不管了。在适度强调逻辑的基础上，提倡数学的创造现代的数学文化既有逻辑又有创造。,数学文化：与时代、国家政治制度相关,2020/5/30,15,古希腊时代几何原本近代文明（文艺复兴到17世纪到18世纪）牛顿发明了微积分力学发展工程技术、资本主义工业生产、工业革命、法国大革命现代文明爱因斯坦的相对论为基础黎曼几何是相对论的数学基础20世纪下半叶信息时代文明数学家冯诺依曼创造了计算机的方案数学和社会的发展同步，数学和人类的文化共生,数学文化：人类文明进程中的火车头,2020/5/30,16,古希腊时代“万物皆数”毕达哥拉斯学派研究内容“四艺”：数的绝对理论-算术、静止的量几何、运动的量天文、数的应用音乐毕达哥拉斯学派发现音律：在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的“不懂几何学的人不得入内”柏拉图，雅典学院懂不懂数学是身份、品味和文明的象征，数学是作为一种高雅的文化得到人们尊重,数学文化：古希腊,2020/5/30,17,记数与进位十进制十个数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0与逢十进一意义：没有了它，稍微大一些的数字就会使人晕头转向更谈不上可以表示庞大的天文数字或极其微小的数字现今金融行业或科学试验中复杂或高精度的数学运算根本不可能进行,数学文化：记数与进位,2020/5/30,18,零（0）零的出现使用比数字1,2,3,4,5,6,7,8,9晚得多中国最早提出零概念，出现零的地方，留下一个空格来表示，防止引起混淆用“0”符号来表示零，则是印度人的贡献意义中国人比欧洲早近千年使用了零这个符号，从而更早掌握了乘除法及开方的艺术这是东方文明的一个划时代的成果（在欧洲，一直到文艺复兴初期，还将“0”作为异教的符号一律排斥和打击）,数学文化：零的出现,2020/5/30,19,欧几里得几何几何原本：公元前3世纪，古希腊欧几里得（柏拉图的学生，教育家）著把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，研究各种几何图形的性质，形成了独立、严密的逻辑体系的科学几何学在西方的流传仅次于圣经推理的典范以简驭繁以少胜多意义认识客观世界的图形训练逻辑推理的最有力的教育手段演绎的思考首先出现在几何学中公理化思想（理性精神）（物质世界的公理和精神世界的公理）,数学文化：欧几里得,2020/5/30,20,创始人是笛卡儿和费马笛卡儿的理论以两个概念为基础：坐标概念和把方程看成平面上的一条曲线的概念意义数学研究方向的重大转折：古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础人们从现实空间进入虚拟空间：从三维空间进入更高维空间恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”,数学文化：解析几何,2020/5/30,21,恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在里。”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。才有了工业革命。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。自然科学方面-近代世界的科学运动的开端牛顿的万有引力定律波意耳、马略特、伽利略托里拆利和帕斯卡测出了液体、气体的压力和密度范海尔蒙特利用天平测量物质，迈出了近代化学重要的一步哈维利用定量的方法证明：流出心脏的血液在回到心脏前将在全身周流,数学文化：微积分,2020/5/30,22,牛顿少年时代,在剑桥大学附近买了一本几何原本，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，并没有认真地去读它。牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿把几何原本从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。,数学文化：牛顿,2020/5/30,23,牛顿从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系自然哲学的数学原理具有欧几里得式的结构数学成就第一项创造性成果：发现了二项式定理微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就,数学文化：牛顿,2020/5/30,24,爱因斯坦近代物理学爱因斯坦精通几何学，且应用几何学的思想方法，开创自己的研究工作。爱因斯坦在回忆曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。,数学文化：爱因斯坦,2020/5/30,25,相对论的公理相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播,数学文化：爱因斯坦,2020/5/30,26,海岸线的长度问题背景：BBMandelbrot发现英国的海岸线永远也无法测量。因为在测量海岸线时，如果尺子的长度精确度不同，那么海岸线的形状就可以无限分形，当然就无法准确测量柯赫（瑞典数学家）曲线（Kochcurve，1904年）的几何现象说明了这个问题。由等边三角形开始，每条边三等分，在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边不断重复。分形与混沌分形是用来探索粒子运动,植物生长,沿海线分布,星系分布等自然规律一门非常特殊的学科。非线性学科蝴蝶效应,数学与地理,2020/5/30,27,分形图形,2020/5/30,28,化学1950年，HHauptman（数学家）借助傅氏分析找出了决定相位的办法，并进一步确定了晶体的几何。在1985年获得了诺贝尔化学奖生物11世纪。我国科学家沈括已观察到出生性别大致相等的规律，并立出“育胎之理”的数学模型。美国数学家琼斯在纽结理论方面的工作使他获得1990年的菲尔兹奖。生物学家很快地把这项成果用到了DNA上，对弄清DNA结构产生重大影响。Science发表文章“数学打开了双螺旋的疑结”生理学，人们已建立了心脏、肾、胰腺、耳朵等许多器官的计算模型,数学与化学生物,2020/5/30,29,数学与自然科学的联盟所显示出的惊人成果，使人们认识到理性精神是获取真理的最高源泉数学推理是一切思维中最纯粹、最深刻、最有效的手段每一个领域都应该探求相应的自然和数学规律。特别是哲学、宗教、政治经济、伦理和美学中的概念和结论都要重新定义，否则它们将与那个领域里的规律不相符合著名哲学家康德说，自然科学的发展取决于其方法与内容和数学结合的程度，数学成为打开知识大门的金钥匙，成为科学的皇后。,数学文化：自然科学联盟,2020/5/30,30,自1968年起诺贝尔经济学奖获奖设立项目90%以上都是有关经济学行为的数学建模及相应的研究工作，其中不少人是数学博士1994年诺贝尔经济学奖授予纯粹数学家J纳什，“这意味着在诺贝尔奖93年的历史上，第一次授予了纯数学领域的工作。”从提名到获奖历经10年，因精神病被一些人拒绝小约翰福布斯纳什（JOHNF.NASH，美国），著名的“纳什均衡”提出者，对有混合利益的竞争者之间的对抗进行了数学分析，对博弈论和经济学产生了重大影响被誉为高斯第二。1958年，纳什被美国财富评为新一代天才数学家中最杰出的人物博弈论大师约翰纳什是奥斯卡获奖影片美丽心灵的原型,数学文化：经济学,2020/5/30,31,非合作博弈处理的是多人参与游戏而不是像囚犯困境中的仅仅两人时每个游戏者的最佳策略“纳什均衡”最著名的例子“囚徒困境”，大意：一个案子的两个嫌疑犯被分开审讯，警官分别告诉两个囚犯，如果两人均不招供，将各被判刑一年；如果你招供，而对方不招供，则你将被判刑三个月，而对方将被判刑十年；如果两人均招供，将均被判刑五年。于是，两人同时陷入招供还是不招供的两难处境。两个囚犯符合自己利益的选择是坦白招供，原本对双方都有利的策略不招供从而均被判刑1年就不会出现。这样两人都选择坦白的策略以及因此被判5年的结局被称为“纳什均衡”，也叫非合作均衡。,数学文化：经济学,2020/5/30,32,公理化思想在政治上表现：独立宣言主要起草人：美国第三任总统杰斐逊(Jefferson，17431826)杰佛逊将追求人权写进独立宣言中，断言人人生而平等，都具有生命权、自由权和追求幸福的权利，这些权利是不证自明的独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。“因此，我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家。”在1718世纪，许多法律问题都采用数学的方法进行论证。维柯(Vico)用几何方法写成一部名为普遍法律的唯一原则；斯宾诺莎(BaruchdeSpinoza)的伦理学一书涉及大量法学问题，全部是用几何方法进行论证的。著名的三权分立理论也曾受到几何学的支持。,数学文化：独立宣言,2020/5/30,33,马尔萨斯人口论（人口学原理，1798年）马尔萨斯（1766-1834，英国牧师，人口学家，政治经济学家）接受欧几里得的演绎模型人口学模型的两条公设人需要食品人需要繁衍后代预言：人口增长超越食物供应，会导致人均占有食物的减少人口学原理的基本思想是：如没有限制，人口是呈指数速率（即：2，4，8，16，等）增长，而食物供应呈线性速率（即：1，2，3，4等）增长。注意：马尔萨斯使用的相对应术语是几何级数和算术,数学文化：人口论,2020/5/30,34,背景美国国会议员名额按州分配。基本原则：公平合理实施办法：按比例四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况美国乔治华盛顿时代的财政部长亚历山大汉密尔顿在1790年提出一个解决名额分配的办法：,数学文化：选票分配,2020/5/30,35,亚拉巴马悖论1880年，亚拉巴马州：按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变或者增加，至少不应该减少。事实是，亚拉巴马州的名额减少阿罗不可能定理（1952）只有更合理，没有最合理如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果结论：不可能找到一个公平合理的选举系统。证明方法：公理化阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑阿罗不可能定理不仅是一项数学成果，也是十分重要的经济成果。因此，数学家阿罗于1972年获得了诺贝尔经济奖,数学文化：选票分配,2020/5/30,36,数学是美学的四大构件之一，这四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学数学的美表现在简单、对称、完备、统一、和谐和奇异数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据是电子运动的方程有正负两个解。,数学文化：数学与美,2020/5/30,37,黄金分割：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618达芬奇把0.618称为黄金数体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，还在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用生物：有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28分，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳建筑：古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据,数学文化：数学与美,2020/5/30,38,“菲波那契数列”：1、1、2、3、5、8、13、21、.，研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的，即f(n)/f(n-1)-0.618五角星是非常美丽的，因为在五角星中所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。如五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18度0618舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播最好维纳斯雕像人体：4处黄金点肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐以下的，咽喉是肚脐以上的，肘关节是上肢的黄金分割点等,数学文化：数学与美,2020/5/30,39,绘画的体系大致分为两大类：观念体系与光学体系文艺复兴时期的绘画与中世纪绘画的本质区别在于引入了第三维，也就是在绘画中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象。三维空间的画面只有通过光学透视体系的表达方法才能得到达芬奇：用一句话概括了他的艺术专论的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”广泛而深入地研究数学、解剖学、透视学和化学最优秀的杰作都是透视学的最好典范绘画艺术导致了身影几何学的诞生,数学与绘画,2020/5/30,40,体育：主要的研究方面有：赛跑理论，投掷技术，台球的击球方向，跳高的起跳点，足球场上的射门与守门，比赛程序的安排，博奕论与决策1973年，美国的应用数学家JB开勒发表了赛跑的理论，并用他的理论训练中长跑运动员，取得了很好的成绩美国的计算专家艾斯特运用数学、力学，并藉助计算机研究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术，从而提出了他自己的研究理论，据此提出了改正投掷技术的训练措施，从而使这位世界冠军在短期内将成绩提高了4米，在一次奥运会的比赛中创造了连破三次世界纪录的辉煌成绩,数学与体育,2020/5/30,41,文学作品的微量元素，即文学的”指纹”，就是文章的句型风格，其判断的主要方法是频谱分析日本有两位作者多久正和安本美典大量应用频谱分析来研究各种文学作品，最后达到这样的程度，随便拿一篇文字来，不讲明作者，也可以知道作者是谁1980年6月在美国威斯康星大学召开的首届国际红楼梦研讨会上，华裔学者陈炳藻宣读了论文“从词汇统计论红楼梦的作者问题”复旦大学的李先平教授请陈大康先生，统计每一回“的了吗呢什么”等共47个虚字，发现每一回就有47个频率出现，然后他就把它作句类分析，结果就划出一条线，这条线的上方是前80回，这条线的下方是后40回,数学与文学作品鉴真,2020/5/30,42,42,联合国科教文组织在1992年发表了里约热内宣言，将2000年定为数学年，并指出“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。”,数学文化：理论与应用,2020/5/30,43,马克思认为的“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”纯粹数学的优秀成果往往为重大科学理论的建立作好了准备，有时甚至是先导与相应领域的专家紧密合作国家最高科学技术奖吴文俊、王选和黄昆，或是数学家，或是数学专业毕业同时又掌握计算机硬件和软件的技术，或是能用完善的数学形式表述其深刻的物理洞察数学的思考方式有着根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供方法。一旦数学用于技术，它就能产生系统的、可再现的并能传授的知识。分析、设计、建模、模拟和应用便会成为可能，变成高效的富有结构的活动。一句话，转化为生产力,数学文化：理论与应用,2020/5/30,44,19世纪的数学：为工程技术提供一些工具，但基本上是间接的：先促进其他科学的发展，再由这些科学提供工程原理和设计的基础20世纪数学：数学的发展不少方面正逐渐从后台走向前台。密码学及电子商务、信息安全、军事运筹学等相关领域，主要依靠数学思想和方法的创新及其软件实现发达国家政府的重要部门以及许多大公司都设有阵容强大的数学部1984年，美国国家安全局局长曾说过，美国国家安全局是美国数学界最大的雇主，它雇用了2000多位具有博士等学位的数学家除了数学自身的发展规律外，更多地受到其他相关学科发展过程中提出的数学课题的推动20世纪后半叶以来诸如有限元方法、快速富里埃变换、小波分析、分形、混沌等等领域无一例外地都是在实际工作者和数学家的合作中迅速发展起来的,数学文化：理论与应用,2020/5/30,45,45,三、“数学文化”的教育意义,2020/5/30,46,46,2020/5/30,47,47,2020/5/30,48,48,2020/5/30,49,49,高中数学课程标准中的表述,数学是人类文化的重要组成部分，数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。,2020/5/30,50,对数学学科有基本正确的认识和理解，对数学的重要性，对数学在推进人类社会物质文明与精神文明发展方面的重要作用，对数学是一种先进的文化，有基本的认同和体会。进而对数学有一种仰慕和敬重，有一种向往和热爱，有一种亲和力通过学习数学，特别是通过数学严格的训练，能逐步领会到数学的精神实质和思想方法，在潜移默化中积累起一些优良的素质，造就自己的数学教养积累数学的知识和方法，掌握必要的工具和技巧，提高运用数学思想和工具来解决自己在工作中碰到的一些关键问题的意识和能力,高中数学课程目的,2020/5/30,51,数学文化如果我们把它打扮起来，数学就是一位光彩照人的科学女王。但是如果你仅仅把数学等于逻辑，等于枯燥的几条公式，那么这个美女就变成X光下面的骷髅，就是X光的照片。我们现在更多的看到的是X光照片，看不到数学科学女王的光彩照人的美容，我们只是看到她的骨骼。,2020/5/30,52,52,应试教育下的数学教学，较多地让学生做习题，却较少地让学生想问题。在做习题中，又较多地在操作层面上训练解题方法，而较少地在思维层面上培养数学素养。特别是为了应付考试，教师在教学活动中，往往先把自己变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工，再努力把学生也变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工。,高中数学教学突出问题之一,2020/5/30,53,53,高中数学教学突出问题之一,实际上，学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。,2020/5/30,54,54,高中数学教学突出问题之一,爱因斯坦在纽约大学毕业典礼上面说过这样的话：学校里面给学生太多的好胜心，我第几名，我比谁好，我一定要超过你，但是对数学的好奇，却很少关注。,2020/5/30,55,55,主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养；具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化