实变函数论课件16

第16讲Lebesgue积分的定义与性质,目的：了解Lebesgue积分的科学意义，熟练掌握Lebesgue积分的定义及其基本性质。重点与难点：Lebesgue积分的引入及其性质。,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,基本内容：一Lebesgue积分的定义问题1：分析Riemann积分的缺陷，我们应如何定义可测函数的积分？,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,到目前为此，一切准备工作就绪，我们可以来定义Lebesgue积分了。定义Lebesgue积分的方法有多种，其一是利用简单函数来定义，根据上一章，对E上任一非负可测函数f，可以找到一列单调递增的简单函数，使得，而对每个简单函数，若,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,则可自然定义的积分为：若此和式极限存在，则可定义该极限为f的积分，最后再过渡到一般的可测函数。第二种方法是如引言所说，找一串,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,序列，使记，讨论和式极限是否存在。还有一种办法，就是对E作任意划分：记，然后象Riemann积分那样作对应于该划分的小,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,和数与大和数，讨论相对于划分的加细，其大和数与小和数的极限是否相等。本章将采用第二种做法。定义1设是测度有限的可测集，f是定义在E上的有界可测函数，即存在,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,，使若D：是的任一分点组，则记对任意,作和式,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,称S(D)为f对应分点组D的一个“和数”。如果存在常数A，使得对任意总有当任意分点组D满足时换言之，则称f在E上是Lebesgue可积的，并称A为f在E上的,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,Lebesgue积分，记作有时为简便起见，也记，若，则记当是Riemann可积函数时，其Riemann积分仍沿用数学分析中的写法，记作，后面将会看,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,到，当Riemann可积时，必有，由此可见Lebesgue积分确是Riemann积分的推广。对的任意分点组D：可作两个特殊的和数为：,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,称，分别为f对应分点组D的“大和数”与“小和数”。显然对于f的任一和数，有由此可见，极限存在当且仅当,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,都存在且相等。正如Riemann积分一样，人们可能会问，什么样的可测函数是Lebesgue可积的呢？下面的定理说明：任一有界可测函数都是Lebesgue可积的。,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,（2）有界可测函数的积分*定理1设是测度有限的可测集，f是E上的有界可测函数，则f在E上Lebesgue可积。证明：记S是相对于所有分点组D的“小和”的上确界，是相对于所有分点组的“大,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,和”的下确界，即。往证。首先证明，设是两个任意的分点组，则,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,将D与D合并起来构成一个新的分点组，记为可以看成分点组D中又加进了一些分点，称为D的一个“加细”，假设对任意与之间加入了某些分点即于是,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,类似地，于是这说明，相对于任一分点组D的加细，,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,“大和”不增，“小和”不减，且中任一数不超过中任一数，从而。再证。设D为任意的分点组，则由于故,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,令时，则进而。最后，令，往证注意到，故,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,由此可见所以，即f有E上Lebesgue可积。证毕。（3）例例设,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,在0,1上Lebesgue可积，且事实上,对于任一分点组,若则，且对任意，有，而对其它的分点总有所以,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,令立得不难看出，在0，1上不是riemann可积的。所以，Lebesgue可积函数类比Riemann可积函数类要广。,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,二Lebesgue积分的性质问题2：回忆Riemann积分的性质，由此猜测Lebesgue积分应具有什么性质？,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,*定理2设都是E上的有界可测函数，则（i）对任意证明：从积分定义立知（i）是显然的。,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,（ii）若E1，Em是E的可测子集，则,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,证明：只需就m=2情形证之，一般情形完全类似可证.设是任意正数,D：是任一分点组，使得,记,则令,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,则分别构成E1与E2的一个划分，从而,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,由的任意性知反之，由于,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,且由的任意性得,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,综上(ii)得证。证明：设，对任意，分别取中分点组D：使得令,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,则是互不相交的有限个可测集，且，于是由（ii）知,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,所以再由的任意性得另一方面，由Lebesgue积分定义及互不相交易知,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,故再由,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,得仍由的任意性得,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,所以证毕。,第16讲Lebesgue积分的定义与性质,(iv)当时，证明令，则由L