数学分析常微分方程讲课

常微分方程,参考资料：,1.高等数学第六版（下册）第七章，同济大学数学系编，高教版.,2.常微分方程（第三版），王高雄等编，高教版.,3.应用常微分方程，金福林等编，复旦大学出版社。,4.多元分析基础（第八章偏微分方程），曹华定、罗汉主编，科学出版社。,第一节微分方程的基本概念,第三节可降阶的高阶微分方程,第二节一阶微分方程,第四节二阶常系数线性微分方程,可分离变量的一阶微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程解的结构,二阶常系数线性微分方程的解法,目录,第一节微分方程的基本概念微分方程,如,未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；,当未知函,微分方程,凡含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。,数是多元函数时，微分方程中必出现未知函数的偏导数，因而称,为偏微分方程。,例如，梁的横振动,（b2为常数）,就是一个重要的偏微分方程。,微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。,微分方程的阶,例如，,是二阶微分方程。,练习：试说出下列微分方程的阶数,如果将某个函数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，则,求微分方程解的过程称为解微分方程。,微分方程的解,称这个函数为该微分方程的解。,例如，微分方程,函数,是它的解。,函数,（C为常数）也是它的解。,又如，微分方程,函数,是它的解。,函数,（C1、C2为常数）也是它的解。,，容易验证：,，容易验证：,由此可知，微分方程的解有两种：,微分方程的通解,数，这样的解称为微分方程的通解。,含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶,注：含有几个任意常数的函数式，如果它们不能通过运算合,并而使得任意常数的个数减少，则称这函数式中的几个任意常数,相互独的。,例如，函数,中的两个常数C1、C2是相,互独立的，,中的C1、C2可以合并成一个常数,C，故不是独立的。,微分方程的特解,不含任意常数的解称为微分方程的特解。,而,微分方程的通解与特解,用来确定特解的条件称为初始条件。,例1验证,解：,是该微分,，且微分方,初始条件,的通解。,程,，所以,方程的通解.,第二节一阶微分方程,可分离变量的一阶微分方程,一般形式：,解法：,分离变量,两边分别对各自的变量积分,即得通解.,例2：,解：将方程分离变量，得,得方程的通解,例3：,解：分离变量,两边积分得,，得方程的通解,可以验证，,可设为任意常数.,通解：,两边积分得,解：分离变量,齐次方程,一般形式：,解法：,代入方程得,分离变量得,例5：,的通解.,解：方程变为,则,分离变量得,两边积分得,当时，称方程为非齐次的。,一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程，,其中，,为已知的连续,函数。,由于方程中的未知函数y及其导数,都是一次的，所,以，称方程为线性的。,特别地，当时，称方程为,齐次的；,例如，方程,是一阶线性非齐次方程；,而方程,是一阶线性齐次方程。,又如，方程及是一阶微分方程，,但都不是线性微分方程。,一阶线性齐次微分方程,分离变量后，得,两端积分，得,方程的通解为,的解法,一阶线性齐次微分方程,的解法,一阶线性非齐次微分方程,常数变易法：,设方程的解为,，其中是待定函数。,u,将y、代入方程，化简得,将上式两边积分，得,通解为,解法举例：例1,公式法：,通解,例1：,解：,将原方程变形为,通解,例2：求微分方程,的通解.,解：将原方程变形为,通解,例3,例3：设函数,可微，且,，又对右半平面,内任意,闭曲线C，有,求,计算,，其中L是从,到,的一段弧.,解：依题意，有,，即,由,，得,，从而求得,如图，有,x,0,y,.,.,L1,L2,例（函授）,第三节可降阶的高阶微分方程,二阶及二阶以上的微分方程，统称为高阶微分方程。本节将,讨论某些特殊的高阶微分方程的求解问题。由于这些高阶微分方,程可以通过适当的变量代换化为较阶的微分方程，故称它们为可,降阶的高阶微分方程，求解这些高阶微分方程所用的方法，称为,降阶法。,型的微分方程,解法：n次积分,例1：,解：,1、,型的微分方程,解法：,，则,代入方程，得,这是一个关于x，p的一阶微分方程，可用第二节介绍的方,法求其通解，,又因,，所以，又得到一个一阶微分方程,对上式两边积分，便得原方程的通解,令,设其通解为,2、,例2：求微分方程的通解。,解：所给方程是二阶微分方程，且不显含y，,则,，代入原方程有,这是一个可分离变量的一阶微分方程，,分离变量，得,故可设,例2,两边积分，得,，,两边积分，得方程的通解为,即,型的微分方程,解法：,，则,代入方程，得,这是一个关于p，y的一阶微分方程，可用第二节介绍的方,法求其通解，,又因,，所以，得到一个可分离变量的一阶微分方程,应用分离变量法，便可求得原方程的通解。,令,设其通解为,3、,例4：求微分方程的通解。,例4,解：所给方程是二阶微分方程，且不显含自变量x.,，则,令,，代入原方程，得,当时，约去p，得,分离变量得,，两边积分得,第四节二阶常系数线性微分方程,形如,(p、q均为常数),的方程称为二阶常系数线性微分方程，,函数,称为自由项。,，方程成为,称为二阶常系数线性齐次微分方程；,，方程称为二阶常系数线性非齐次微分方,程，,并称方程为对应于线性非齐次方程的线性齐次方程。,一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解结构,二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,先讨论二阶常系数线性齐次微分方程,定理1：如果函数y1、y2是方程的两个解，那么,也是方程的解，其中C1、C2是任意常数。,定理2：如果函数y1、y2是方程的两个线性无关的特解，,，那么,就是方程的通解。,二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构,定理3：如果函数y*是二阶常系数线性非齐次微分方程,的一个特解，Y是方程所对应的齐次方程的通解，那么,是二阶常系数线性非齐次微分方程的通解。,定理4（叠加原理）：如果函数y1、y2分别是方程,的特解，那么,就是方程的,特解。,所以，它的解函数y与它的导数，必须是同一类函数,二、二阶常系数线性微分方程的解法,二阶常系数线性齐次微分方程的解法,先讨论二阶常系数线性齐次微分方程,由上节的讨论可知，要找方程的通解，只要先找出它的两,个线性无关的特解、,，即可得方程的通解,如何寻找方程的特解呢？,由于方程中的p、q都是常,数，,的不同常数倍，这样的函数代入方程后，才有可能使方程,成为恒等式。,相差一个常数因子，所以，适当地选取常数r，有可能使,我们想到了指数函数,二阶常系数线性齐次微分方程,，由于它与它的各阶导数都只,满足方程。,将对x求一阶及二阶导数，得到,将y，和代入方程，得,约去，得,以指数函数试解,由此可见，只要r满足方程，函数就是微分方程,于是微分方程的求解问题，就转化为求代数方程,二阶常系数线性齐次微分方程,的解。,的根的问题，,代数方程称为微分方程的特征方程。,特征方程是一个一元二次的代数方程，它的两个根（简称,特征根）可以用下面的公式求出：,特征方程,求二阶常系数齐次线性微分方程,的通解步骤如下：,求出特征方程的两个根r1，r2；,根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程的通解：,写出微分方程的特征方程,解题步骤,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,当时，特征方程有两个不相等的实根，,，此时方程有两个特解与,因为,即、线性无关，,因此方程的通解为,特征方程根的判别式情况：,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,当时，特征方程有两个相等的实根：,这时只得到方程的一个特解,，还需要找一个与线,性无关的解,设,（不是常数）,，其中为待定函数，,则,二阶常系数线性齐次微分方程,因为,将，和代入方程，得,即,续,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,因为r是特征方程的重根，故，,于是得,，取满足该方程最简单的不为常数的函数,从而是方程的一个与线性无关的解。,所,以方程的通解为,续,二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,当时，特征方程有一对共轭复根,其中,，这时方程有两个复数解,在实际问题中，常用的是实数形式的解，,应用欧拉公式,二阶常系数线性齐次微分方程,得,于是有,由上节定理1知，函数与均为方程的,解，,且它们线性无关，,因此方程的通解为,续,综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程,的通解步骤如下：,求出特征方程的两个根r1，r2；,根据两个根的不同情况，按下表写出微分方程的通解：,写出微分方程的特征方程,解题步骤,例1求微分方程的通解。,解：特征方程为,，有两个不相等的实根,故得原方程的通解为,例1,例2求微分方程满足初始条件,解：特征方程为,，有两个相等的实根,故方程的通解为,的特解。,代入初始条件,，求得,所以原方程满足初始条件的特解为,例2,例3求微分方程的通解。,解：特征方程为,，有一对共轭复根,故原方程的通解为,例3,二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,由上节中定理3可知，线性非齐次方程的通解y等于它的,一个特解y*与它所对应的线性齐次方程,的通解Y的和，即,方程的通解Y的求法前面已讨论过，因此，现在只需解,决如何求线性非齐次方程的一个特解y*.,型,其中,是x的m次多项式，,为常数。,则方程的特解可设为,其中,是与同次的待定多项式，,（m次）,k的取法为,例1：求方程的一个特解。,解：,是型，其中,对应齐次方程的特征方程为,由于是特征方程的单根，所以，应取,，而,是一次多项式，,将，代入所给方程，得,例1,故应设特解为,比较两边x同次幂的系数，得,由此求得,于是，所求方程的一个特解为,例1（续）,例2：求方程的通解。,解：原方程对应的齐次方程为,特征方程为,，特征根,所以，对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,因,例2,将，代入原方程并整理，得,比较两端x同次幂的系数，得,于是,所以，方程的通解为,例2（续）,型,其中，A，B是实常数，且0，A与B不同时为零。,则方程的特解可设为,其中a，b为待定系数，,k的取法规则是：,例3：求微分方程的通解。,解：所给方程对应的齐次方程为,，其特征方程为,特征根为,，因此，所给方程对应的齐次方程的通解为,所给方程右端,属于,型,这里，,不是特,征根，,应取,，故可设所给方程的一个特解为,例3,由于,其中a，b为待定系数。,对y*求一阶导数及二阶导数，得,比较上式两边同类项的系数，得