复变函数引论课件_第1页
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1.3.1复变函数的导数与解析函数,1、导数的定义:,在定义中应注意:,例,解,例,解,2.可导与连续的关系:,函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.,3.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,一些复杂函数的导数可以用复合函数求导和求导运算法则求解。所得到的结果列举如下：,4.微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义,+,特别地,5.解析函数的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数解析与区域密切相关,比可导的要求要高。,即函数在z0点解析,函数在一点处解析与在一点处可导不等价,函数在z0点可导,函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价,即函数在闭区域上解析,函数在闭区域上可导,说明,奇点的定义：,通常泛指的解析函数是容许有奇点的。,例,解,例1.11,定理,以上定理的证明,可利用求导法则.,用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！,需要寻求研究解析性的更好的方法。,1.3.2C-R条件,目的：研究复变函数w=f(z)可微或解析的条件。,研究函数解析性的利器,引言：设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则,函数w=f(z)的连续性由u(x,y),v(x,y)连续性唯一确定。,那么w=f(z)的解析性与u(x,y),v(x,y)之间有什么关系呢？,先看如下例子,设w=z=x-iy,u(x,y)=x,v(x,y)=-y,则：u(x,y)=x,v(x,y)=-y对x,y的一切偏导数都存在且连续，但是,w=z却是一个处处不可微的函数,由此说明：,有必要探讨函数w=f(z)的可微（解析性）与u(x,y),v(x,y)之间的进一步的关系,函数w=f(z)的在一点处的可微与u(x,y),v(x,y)之间的关系,假设,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一点z=x+iy可微,代数化,z+x,z,式1,z+iy,称为Cauchy-Riemann条件，简称C-R条件,定理(可微的充要条件),定理函数在区域D内解析的充要条件
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