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文档简介

习题课,无穷级数,三、幂级数和函数的求法,四、函数展开为幂级数,第十一章,二、求幂级数收敛域的方法,一、常数项级数审敛法,五、函数展开为傅里叶级数,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,例1.判断下列级数的敛散性,解:,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,解:,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,即原级数非绝对收敛,解:,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛,例2.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,求收敛半径R(比值法、根值法)，,例3.,解:,例4.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,例5.,解:,令,则,发散.,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数求和,例6.求幂级数,解：易求出级数的收敛域为,例7.求幂级数,解：易求出级数的收敛域为,例8.求幂级数,解：,例9.求幂级数,解：,所以原级数的和函数为：,四、函数展开为幂级数方法,直接展开法,间接展开法,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,函数的幂级数展开法,例10.将函数,解：,展开成x的幂级数.,而,例11.将,解：,展开成x的幂级数.,而,展开成x的幂级数.,解:,例12.将函数,，将,例13.设,将f(x)展开成,x的幂级数,的和.,解:,于是,并求级数,例14.设,是周期为,的周期函数，,在,上的表达式为,(1)求傅里叶系数.,(2)写出上傅里叶系数的和函数的表达式
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