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文档简介

1级数的收敛性,级数理论是数学分析三大组成部分之一，是函数逼近理论的基础，是研究函数从而进行近似计算的一种有用的工具.级数理论的主要内容是研究级数的收敛性以及级数的应用.,定义：,给定一个数列,将各项依,其中第n项un叫做级数的通项或一般项.,次用“+”号连接起来的表达式,记为,称为数项级数或无穷级数,简记为,级数的前n项和,称为级数的部分和.,收敛,则称无穷级数,并称S为级数的和,记作,则称无穷级数,发散,例1.讨论等比级数(也称为几何级数),(q称为公比)的敛散性,解:1)若,从而,因此级数收敛，,从而,则部分和,因此级数发散,其和为,2).若,因此级数发散；,因此,从而,级数成为,不存在，,因此级数发散,综合1)、2)可知，,时,等比级数收敛；,时,等比级数发散,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,(2),所以级数(2)收敛,其和为1.,解,例判别无穷级数,的收敛性,定理12.1（柯西准则）级数un收敛的充要条件是对任给0,存在N0,使得当mN以及对任意的正整数p,都有,级数un发散的充要条件是：存在00,使得对任何N0,总存在m0N和正整数p0,有,定理12.1（柯西准则）级数un收敛的充要条件是对任给0,存在N0,使得当mN以及对任意的正整数p,都有,证:,设所给级数部分和数列为,因为,所以,利用数列,收敛的柯西准则即得本定理的结论,推论（级数收敛的必要条件）若级数un收敛，则,注：若,则级数un必发散,例如,其一般项为,因为,不存在，因此这个级数发散,例3证明调和级数,发散,证,因此，取0=，对任何N0,只要mN,p=m就有,取p=m,有,所以调和级数,发散,例4用柯西准则证明级数,收敛,证,由于,所以级数,收敛,无穷级数的基本性质,定理12.2若级数un与vn都收敛，则对任何常数c,d级数(cun+dvn)也收敛，且(cun+dvn)=cun+dvn,若级数un收敛，则对任何常数c,cun也收敛，且cun=cun,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则(unvn)必发散,(1)级数每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,若两个级数都发散,则(unvn)不一定发散,例如,定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项不改变级数的敛散性,由此可知若,收敛,其和为S,则级数,也收敛,且其和Rn=S-Sn，称Rn为为级数的余项它表示以部分和Sn代替S时所产生的误差,显然,定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，不改变级数的敛散性，也不改变它的和,证,设收敛级数un的和为S,记,设级数un加括号后的级数为,设Sn为级数un的部分和数列，则级数vk的部分和数列Snk是Sn的一个子列由于,故由子列的性质知，数列Snk也收敛，且,即级数vk收敛且其和也等于S,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛，即发散级数不能任意加括号,但,发散,例如，,例.判断级数的敛散性:,
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