4-1 不定积分的概念与性质.ppt

第四章不定积分,第一节不定积分的概念与性质,例如：,1.原函数,一、原函数和不定积分的概念,若在区间I内连续,则在区间I内一定存在的原函数F(x).（下章证明）,定理（原函数存在定理）,连续函数一定有原函数.,满足什么条件，其原函数一定存在？,问题：,（1）若f(x)在I上有原函数F(x)，原函数是否唯一？,F(x)是f(x)在I上的一个原函数.,又,F(x)+C也是f(x)在I上的一个原函数.,即：若f(x)有原函数，则原函数有无穷多个.,又知,故,这表明，与只差一个常数，即任意两个原函数之间至多只相差一个任意常数C.,若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C.(C为任意常数）,（2）全体原函数之间什么关系?,，即,不定积分,定义2若F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，则f(x)在区间I内的全体原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为,【例1】求,解,解,【例2】求,【例3】求,解,【例4】设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,设时刻t质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),先求.由知,故,再求,于是所求运动规律为,设该车刹车后行驶的路程和时间t的关系为s=s（t）,加速度a为：,依题意，速度v(t)为：,速度为：,因为开始刹车时刻（t=0）车速为v0，代入上式，得c=v0，所以：,汽车刹车后，行驶路程s和时间t的关系为：,汽车从刹车到停止（v=0）所花的时间为：,依题意，当t=0时，s(0)=0，故C=0，汽车刹车后的运动规律为：,将代入上式，得刹车后汽车行驶的路程：,超速！,将a=-15m/s2，代入上式，得：,所以的几何意义表示一族相互平行的曲线族.在相同横坐标x点处切线是相互平行的，即切线斜率都等于,不定积分的几何意义,函数f(x)的原函数F(x)的图形称为f(x)的积分曲线.由于,不定积分与微分(导数)的关系,是f(x)的原函数，所以有：,F(x)是的原函数，所以有：,结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的.由此可根据微分公式得出积分公式.,是常数),基本积分表,二、基本积分表,【例6】求积分,【例7】求积分,解,解,【例8】求积分,解,【例9】求积分,解,【例10】求积分,解,证,故性质(1)成立.可推广到有限个函数.,性质1,性质2,三、不定积分的性质,解,【例11】求积分,解,【例12】求积分,解,【例13】求积分,解,【例14】求积分,解,解,有时,被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,【例15】求积分,【例16】求积分,解,【例17】求积分,【例18】求积分,解,解,【例19】求积分,【例20】已知,解,由,得,可用求导数的方法验证正确性.,（1）求导数的结果是唯一的,但求不定积分的结果不是唯一的.,注意：,（2）初等函数都可求导数，且导数一般也是初等函数，但有些初等函数的不定积分不能用初等函数来表示.,这些不定积分的原函数存在,但不能用初等函数来表示.,（3）分段函数积分：如果一个函数的原函数存在，原函数一定是可导的，因而原函数是连续的.这一点在求分段函数的原函数或不定积分时一定要注意.,【例21】,在区间（-，+）连续，故原函数在（-，+）存在，但下面的函数不是它的原函数：,因为F1(x)在x=0点处不连续，所以在x=0处也不可导，故其导数不等于f(x).,当x0,当x0,因为F(x)在x=0点处连续，故：,记：C=C1,3.基本积分表,4.不定积分的性质,1.原函数的概念：,2.不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,思考题,1.求积分,解,思考题,2.求积分,解,练习题,练习题答案,【例5】求初速度为零的自由落体在头4秒钟所经过的路程s.,解,下落路程是速度的原函数：,由s(0)=0，得：C=0,当t=4秒时，,解,【例12】求