常微分方程的差分方法补充

5.变步长的龙格-库塔法在微分方程的数值解中，选择适当的步长是非常重要的。单从每一步看，步长越小，截断误差就越小；但随着步长的缩小，在一定的求解区间内所要完成的步数就增加了。这样会引起计算量的增大，并且会引起舍入误差的大量积累与传播。因此微分方程数值解法也有选择步长的问题。以经典的四阶龙格-库塔法(3.20)为例。从节点xi出发，先以h为步长求出一个近似值，记为，由于局部截断误差为，故有,当h值不大时，式中的系数c可近似地看作为常数。,然后将步长折半,即以为步长,从节点xi出发,跨两步到节点xi+1,再求得一个近似值,每跨一步的截断误差是,因此有,这样,由此可得,这表明以作为的近似值，其误差可用步长折半前后两次计算结果的偏差,来判断所选步长是否适当,当要求的数值精度为时：,（1）如果，反复将步长折半进行计算，直至为止，并以上一次步长的计算结果作为。这种通过步长加倍或折半来处理步长的方法称为变步长法。表面上看，为了选择步长，每一步都要反复判断，增加了计算工作量，但在方程的解y(x)变化剧烈的情况下，总的计算工作量得到减少，结果还是合算的。,3.4亚当姆斯方法3.4.1亚当姆斯格式龙格-库塔方法是一类重要算法，但这类算法在每一步都需要先预报几个点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计算yi+1之前已得出一系列节点上的斜率值，能否利用这些已知值来减少计算量呢？这就是亚当姆斯（Adams）方法的设计思想。,设用xi,xi+1两点的斜率值加权平均作为区间上的平均斜率，有计算格式,（3.21）,选取参数，使格式（3.21）具有二阶精度。,将在xi处Taylor展开,代入计算格式(3.21)化简,并假设,因此有,与y(xi+1)在xi处的Taylor展开式,相比较,需取,才使格式(3.21)具有二阶精度。这样导出的计算格式,称之为二阶亚当姆斯格式。类似地可以导出三阶亚当姆斯格式。,和四阶亚当姆斯格式。,(3.22),这里和下面均记,上述几种亚当姆斯格式都是显式的，算法比较简单，但用节点的斜率值来预报区间上的平均斜率是个外推过程，效果不够理想。为了进一步改善精度，变外推为内插，即增加节点xi+1的斜率值来得出上的平均斜率。譬如考察形如,（3.23）,的隐式格式,设(3.23)右端的Taylor展开有,可见要使格式(3.23)具有二阶精度,需令,这样就可构造二阶隐式亚当姆斯格式,其实是梯形格式。类似可导出三阶隐式亚当姆斯格式,和四阶隐式亚当姆斯格式,（3.24）,3.4.2亚当姆斯预报-校正格式参照改进的欧拉格式的构造方法，以四阶亚当姆斯为例，将显式（3.22）和隐式（3.24）相结合，用显式公式做预报，再用隐式公式做校正，可构成亚当姆斯预报-校正格式,（3.25）,预报：,校正：,这种预报-校正格式是四步法，它在计算yi+1时不但用到前一步的信息，而且要用到再前面三步的信息，因此它不能自行启动。在实际计算时，可借助于某种单步法，譬如四阶龙格库塔法提供开始值。,3.5算法的收敛性与稳定性3.5.1稳定性稳定性在微分方程的数值解法中是一个非常重要的问题。因为微分方程初值问题的数值方法是用差分格式进行计算的，而在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误差等引起的扰动，在传播过程中，可能会大量积累，对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法稳定性问题。,当在某节点上xi的yi值有大小为的扰动时，如果在其后的各节点上的值yi产生的偏差都不大于，则称这种方法是稳定的。稳定性不仅与算法有关，而且与方程中函数f(x,y)也有关，讨论起来比较复杂。为简单起见，通常只针对模型方程,来讨论。一般方程若局部线性化，也可化为上述形式。模型方程相对比较简单，若一个数值方法对模型方程是稳定的，并不能保证该方法对任何方程都稳定，但若某方法对模型方程都不稳定，也就很难用于其他方程的求解。,先考察显式Euler方法的稳定性。模型方程的Euler公式为,将上式反复递推后，可得,或,式中,要使yi有界，其充要条件为,即,由于，故有,（3.26）,可见，如欲保证算法的稳定，显式Euler格式的步长h的选取要受到式（3.26）的限制。的绝对值越大，则限制的h值就越小。,用隐式Euler格式，对模型方程的计算公式为，可化为,由于,则恒有,故恒有,因此，隐式Euler格式是绝对稳定的（无条件稳定）的（对任何h0）。,3.5.2收敛性常微分方程初值问题的求解，是将微分方程转化为差分方程来求解，并用计算值yi来近似替代y(xi)，这种近似替代是否合理，还须看分割区间的长度h越来越小时，即时，是否成立。若成立，则称该方法是收敛的，否则称为不收敛。这里仍以Euler方法为例，来分析其收敛性。Euler格式,设表示取时,按Euler公式的计算结果,即,Euler方法局部截断误差为：,设有常数，则,（3.27）,总体截断误差,（3.28）,又,由于f(x,y)关于y满足李普希茨条件,即,代入(3.28)上式，有,再利用式（3.27），式（3.28）,即,上式反复递推后，可得,（3.29）,设（T为常数）,因为,所以,把上式代