第7讲曲线曲面造型基础3

7.1曲面概述7.2、Bezier曲面7.2.1Bezier曲面定义7.2.2Bezier曲面性质及特点7.2.3Bezier曲面拼接7.3B样条曲面7.3.1均匀双三次B样条曲面7.3.2均匀双三次B样条曲面性质及特点7.3.3均匀B样条曲面反算7.3.4非均匀B样条曲面定义7.3.5B样条曲面造型举例7.4NURBS曲面7.5其它曲面表达方法,第7讲曲线曲面造型基础样条曲面表达方法,1熟练掌握Bezier曲面表示方法2熟练掌握B样条曲面表示方法3了解其它曲面表达方法,本章目的,7.1、曲面概述,解析曲面（代数曲面）,代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求适合简单曲面，不能构造自由曲面不同类型曲面拼接连续性难以保证不同曲面求交公式不一，程序量大工程设计交互性差,因此，CAD系统中除简单曲面外，必须具有强大的自由曲面造型能力Bezier、B样条、NURBS曲面在商用CAD系统中常见。,7.2、Bezier曲面,7.2.1、Bezier曲面定义,回顾：n次Bezier曲线定义：给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier曲线定义为：,nm次Bezier曲面的定义：,将Bezier曲线推广到曲面定义上，给定(m+1)（n+1）个排成网格的控制顶点Pi,j(i=0,1,m，j=0,1,n)，则构成的m+n次Bezier曲面片为：,式中：,双三次Bezier曲面的定义：,在一般实际工程应用中，m和n一般不大于4，尤其以nm3最为常见。由44（共16）个网格控制点定义唯一33的双三次Bezier曲面如下：,将上式展开得：,对比Bezier曲线，Bezier曲面有如下特点：1）曲面由网格阵列点组成的特征网格所控制，称之为特征网格（或控制网格）2）u向及v向控制点的数目可以不相等3）参数取值范围为u0，1v0，1的正方形区域,Bezier曲面参数空间和三维欧式空间的映射关系,7.2.2.Bezier曲面性质及特点,角点特性,思考问题：Bezier曲线有很好的端点特性，Bezier曲面又如何呢?,边界特性,推论，沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线。显然，固定参数v，对参变量u而言是一簇Bezier曲线；固定参数u，对参变量v而言也是一簇Bezier曲线。（请自己证明）,跨界切矢,Bezier曲面的其它特性与Bezier曲线特性类似，如：,几何变换不变性、凸包性、对称性、变差减小性,(求导可直接证明),三次Bezier曲面的计算与绘制方法,绘制三次Bezier曲面，首先计算一系列网格离散点。,三次Bezier曲面演示,7.2.3.Bezier曲面拼接,A）G0连续条件,即只要求两曲面特征网格的首末行（或列）控制点相同。,B）G1连续条件,，即有公共切平面,对三次Bezier曲面，满足上述条件最简单直接的方法如右图所示，只对应两列控制顶点成直线，容易控制。用该方法匹配的曲面边界，u向和v向是光滑连续的。该方法的限制过于苛刻，是充分条件，并非必要条件。,为了构造合成曲面时有更大的灵活性，采用如下条件作为三次Bezier曲面的一阶几何连续的拼接条件：,Bezier表达方法的不足：,Bezier表达方法是一种整体表达方法，不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响，工程设计中非常不便。特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；为实现Bezier曲线和曲面的拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能实现。而且为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，对低阶Bezier曲面需通过升阶方法提高曲面的阶次。1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。,7.3.1均匀双三次B样条曲面,定义：给定（m+1）x（n+1）个网格点Pij（i=0,1,m，j=0,1,n)，可构造（m-2）x(n2)片双三次（四阶）均匀B样条曲面（如左图）。其中任意相邻一组4x4网格点构造一张双三次均匀B样条曲面，如右图所示。,为了理解方便，以双三次均匀B样条曲面为例介绍。,7.3B样条曲面,该均匀双三次B样条曲面片的方程表示为：,依次顺序递推各组4x4个网格控制顶点Pij（i=0,1,m，j=0,1,n）即可构造完整的（m-2）x(n2)双三次均匀B样条曲面。,思考问题：参数空间为一圆，在三维空间映射为什么曲线?,均匀三次B样条曲面的计算与绘制,根据前述定义，任意给定（u，v）值，即可按下式进行计算：,三次均匀B样条曲面演示,7.3.2均匀双三次B样条曲面性质及特点,（4）函数连续性；（5）几何不变性；（6）对称性；（7）凸包性等。,7.3.3均匀B样条曲面反算,借鉴B样条曲线的反算思想：先对给定型值点进行u向反算，反算得到一组控制点；再以此控制点为型值点进行v向反算（如下图所示）具体步骤如下：,a）以U向截面数据点（型值点）及端点u向切矢，应用B样条曲线反算，构造出各截面曲线，求出它们的B样条控制顶点：,b）仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示的“数据点”，又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”，应用曲线反算，求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控制顶点。,c）然后固定指标i，以第一步求出的n1条截面曲线的控制顶点阵列中的第i排即：为“数据点”，以上一步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在V向上应用曲线反算，分别求出m3条插值曲线即控制曲线的B样条控制顶点：,最后所求即为双三次B样条插值曲面的控制顶点。,7.3.4非均匀B样条曲面定义,类似于Bezier曲面的定义方法，将B样条曲线的定义推广到B样条曲面。给定（m1）（n1）个控制点Pi,j（i=0,1,m；j=0,1,n）构成特征多边形控制网格顶点，并给定参数u和v的次数k和l以及对应的节点向量Uu0,u1,um+k+1与Vv0,v1,vn+l+1，则可定义一张kl次B样条曲面p(u,v)，其表达为：,式中Ni,k(u)(i=0,1,m)和Nj,l(v)(j=0,1,n)均为B样条基函数。,与均匀三次B样条曲线类似，均匀三次B样条曲面是B样条曲面的特例。只要所有U向节点向量和V向节点向量均匀分布即可。因此均匀B样条曲面的特性也是B样条曲面的特性。此外Bezier曲面也是B样条曲面的特例。,由此可知，均匀双三次B样条曲面及Bezier曲面都是非均匀B样条曲面的特例。因此，与双三次均匀B样条曲面及Bezier曲面一样，B样条曲面的几何特性如下：,非均匀B样条曲面性质,正是B样条表达方法这些优越的几何特性，因此B样条在当前CAD系统中得到广泛应用。,蒙皮（Skin）：,放样（Loft）：,7.3.5B样条曲面造型举例,7.4、NURBS曲面,将B样条曲面的定义推广到NURBS曲面。定义：给定（m1）（n1）个控制点Pi,j（i=0,1,m；j=0,1,n）构成特征多边形控制网格顶点及其各点对应的权值wi,j，并给定参数u和v的次数k和l以及对应的节点向量Uu0,u1,um+k+1与Vv0,v1,vm+l+1，则可定义一张kl次B样条曲面P(u,v)，其表达为：,式中Ni,k(u)(i=0,1,m)和Nj,l(v)(j=0,1,n)均为B样条基函数，其计算方法与B样条曲线计算方法相同。,为使NURBS曲面具有良好的特性，建议四角顶点处用正权因子，即：,w0,0、w0,n、wm,0、wm,n0，其余wi,j=0,类似于NURBS曲线，NURBS曲面具有和B样条曲面相同的性质。且由于权因子的作用，使NURBS曲面具有更大的灵活性，且表达能力大大增强。除此之外，NURBS曲面能统一表达圆锥曲面（如球面、柱面、圆环面等）、B样条曲面和Bezier曲面等。,追求内部表达模型的统一是CAGD领域学者们的重要目标之一，NURBS不是终点，学者们仍在努力。（目前样条表达能力更强，但控制参数更多）,7.5、其它曲面表达方法,二次曲面（quadric）是最基本的曲面表达：如球面、锥面、环面、抛物面、双曲面等；其特点为表达简单，计算量小，尤其是求交运算容易获得其解析解，因此商用系统中广泛采用。,1）Quadricsurface,2)superquadric,superquadrictoroids,superquadricellipsoids,superquadric曲面在商用CAD系统应用较少，但在动画软件中常用。,3)三角Bezier曲面,目前，曲面造型技术仍以矩形曲面方法为主，但是，采用传统的四边面片构造复杂零件时，有时只能大量使用退化的矩形曲面片逼近三角域，导致许多四边域曲面法算法失效。三角域Bezier曲面因能有效地解决构型复杂、形状和边界不规则产品的几何造型问题，引起不少学者们进行研究，曲面反求工程常用。,三边Bezier曲面片与四边Bezier曲面片的转化,使之与CAD系统表达兼容,4）等距曲面（Offset）,F（u，v）S（u，v）+dNS（u，v）,5)Implicitsurface隐式曲面,隐式曲面表达在表现人体的肌肉、水滴、云、树等物体的造型和动画方面有很大的优势，隐式曲面造型目前尚在发展和完善阶段。,6）偏微分方程（PDE）曲面,PDE方法与传统曲面造型方法不同，曲面的形状由所选择的偏微分方程参数和给定的边界条件确定。PDE方法生成的曲面光滑，而且求解偏微分方程也有许多成熟的方法，实现起来相对比较容易。,7）细分曲面（广泛用于动画）（选学）,细分曲线（chaikin算法）,细分曲面（DooSabin算法）,课堂练习,例1、已知均匀双三次B样条曲面P(u,v)由以下控制点定义：,P00(0,0,0),P01(20,0,20),P02(40,0,20),P03(60,0,0),P04(80,0,-10),P10(0,20,20),P11(20,20,40),P12(40,20,40),P13(60,20,20),P14(80,20,0),P20(0,40,20),P21(20,40,40),P22(40,40,40),P23(60,40,20),P24(80,40,0),P30(0,60,0),P31(20,60,20),P32(40,60,20),P33(60,60,0),P34(80,60,-10)。,试设计构造一条三次Bezier曲线与曲面上的曲线P（0.5，v）的终点Q(0.5，1.0）一阶光滑连接。,提示：1）均匀双三次B样条曲面的等参数截交线P（0.5，v）仍为一均匀三次B样条曲线。（注意为第2段）,2）求出该截交线（均匀三次B样条曲线）3）利用三次均匀B样条曲线端点性质求出终点及切矢4）直接设计三次Bezier曲线即可。,例2、如图用Bezier曲面逼近一圆柱面。该柱面半径为20，高为35。求Bezier曲面控制点（要求逼近圆弧通过圆弧两端点及中点）。,提示：1）利用Bezier曲线的端点特性及圆弧对称性,2）解线性方程：p(0.5）=（14.14，14.14）得出a=11.04。,3）构造3X1次Bezier曲面或者3X3次Bezier曲面。,思考与练习,掌握B