大学数学高数微积分第三章线性方程组第六节课堂讲义

主要内容,齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组解的结构,第六节线性方程组解的结构,直线平面间的位置关系的判定,三元非齐次线性方程组解的几何意义,在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我,们进一步来讨论线性方程组解的结构.,在方程组的,解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题.,在有,多个解的情况下，所谓解的结构就是解与解之间,的关系.,下面我们将证明，虽然在这时有无穷多解,但是全部的解都可以用有限多个解表示出来.,这就,是本节要讨论的问题和要得到的主要结果.,下面,的讨论当然都是对于有解的情况说的，这一点就,不再每次都说明了.,一、齐次线性方程组解的结构,设有齐次线性方程组,它的解是一个n维向量，称之为解向量，,所有解构成的集合，称之为解集.,由它的,1.解的性质,方程组(1)有下面两个重要性质：,性质1两个解的和还是方程组的解.,证明,设(k1,k2,kn)与(l1,l2,ln),是方程组(1)的两个解，则有,把两个解的和,(k1+l1,k2+l2,kn+ln)(2),代入方程组，得,这说明(2)确实是方程组的解.,证毕,性质2一个解的倍数还是方程组的解.,证明,设(k1,k2,kn)是方程组(1)的一,个解，c为一常数，因为,所以(ck1,ck2,ckn)是方程组(1)的解.,证毕,4.基础解系的定义,定义19齐次线性方程组(1)的一组解1,2,t称为(1)的一个基础解系，如果,1)(1)的任一解都能表成1,2,t的线性,组合；,2)1,2,t线性无关.,5.基础解系的存在性与求法,齐次线性方程组的基础解系的存在性由下面的,定理给出.,定理8在齐次线性方程组有非零解的情形下,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于,n-r，这里r表示系数矩阵的秩(以下将看到n-r,也就是自由未知量的个数).,定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的,方法.,证明,设方程组(1)的系数矩阵的秩为r，不,妨设左上角的r级子式不等于零.,于是按上一节最,后的分析，方程组(1)可以改写成,如果r=n，那么方程组没有自由未知量，方程,组(3)的右端全为零.,这时方程组只有零解，当然,也就不存在基础解系.,以下设rn.,我们知道，把自由未知量的任意一组值(cr+1,cr+2,cn)代入(3)，就唯一地决定了方程(3),也就是方程组(1)的一个解.,换句话说，方程组(1),的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个,解就完全一样.,特别地，如果在一个解中，自由未,知量的值全为零，那么这个解一定是零解.,因此，为了求方程组(1)的n-r个不同的解，,在(3)中，令自由未知量xr+1,xr+2,xn取下列,n-r组数：,于是就得出方程组(3),也就是方程组(1)的n-r个,解：,下面来证明，(5)就是一个基础解系.,首先证明,1,2,n-r线性无关.,事实上，如果,k11+k22+kn-rn-r=0,即,k11+k22+kn-rn-r,=(*,*,k1,k2,kn-r),=(0,0,0,0,0).,比较最后n-r个分量，得,k1=k2=kn-r=0.,因此，1,2,n-r线性无关.,再证明方程组(1)的任意一个解都可以由1,2,n-r线性表出.,设,=(c1,cr,cr+1,cr+2,cn)(6),是方程组(1)的一个解.,由于1,2,n-r是(1),的解，所以线性组合,cr+11+cr+22+cnn-r(7),也是(1)的一个解.,比较(7)和(6)的最后n-r个分,量得知，自由未知量有相同的值，从而这两解完全,一样，即,这就是说，任意一个解都能表成1,2,n-r,的线性组合.,综合以上两点，我们就证明了1,2,n-r确为方程组(2)的一个基础解系，因而齐,次线性方程组的确有基础解系.,证明中具体给出的,这个基础解系是由n-r个解组成.,至于其他的基础,解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它,们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量.,证毕,=cr+11+cr+22+cnn-r(8),由基础解系的定义，可得出下面重要结论：,任何一个线性无关的与某一个基础解系等价,的向量组都是基础解系.,=k11+k22+kn-rn-r,设1,2,n-r是齐次线性方程组(1)的,基础解系，则称,是齐次线性方程组(1)的一般解.,齐次线性方程组的一般解,二、非齐次线性方程组解的结构,1.非齐次线性方程组与其导出组,设有非齐次线性方程组,若令b1=b2=bs=0，就得到齐次方程组(1).,方程组(1)称为方程组(9)的导出组.,方程组(9)的解与它的导出组(1)的解之间有密,切的关系：,1)线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组,(1)的解.,证明,设(k1,k2,kn)与(l1,l2,ln),是方程组(9)的两个解，则有,它们的差是(k1-l1,k2-l2,kn-ln).,显然有,这就是说，(k1-l1,k2-l2,kn-ln)是导出组(1),的一个解.,证毕,2)线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1),的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.,证明,设(k1,k2,kn)是方程组(9)的一,个解，即,又设(l1,l2,ln)是导出组(1)的一个解，即,显然,证毕,3.非齐次线性方程组解的结构,定理9如果0是方程组(9)的一个特解，那,么方程组(9)的任一个解都可以表成,=0+，(10),其中是导出组(1)的一个解.,因此，对于方程组,(9)的任一个特解0，当取遍它的导出组的全部,解时，(10)就给出(9)的全部解.,证明,显然,=0+(-0)，,由上面的1)，-0是导出组(1)的一个解，令,-0=，,就得到定理的结论.,既然(9)的任一个解都能表成,(10)的形式，由2)在取遍(1)的全部解的时候，,=0+,就取遍(9)的全部解.,证毕,非齐次线性方程组的一般解,=0+k11+k22+kn-rn-r,设0是非齐次线性方程组的一个特解，1,2,n-r是它的导出组的一个基础解系，则它,的任一个解可表示为,称之为非齐次线性方程组的一般解.,由定理9容易得出以下推论：,推论在非齐次线性方程组有解的条件下，解,是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解.,证明,充分性,如果方程组(9)有两个不同的,解，那么它的差就是导出组的一个非零解.,因此，,如果导出组只有零解，那么方程组有唯一解.,必要性,如果导出组有非零解，那么这个解,与方程组(9)的一个解(因为它有解)的和就是(9),的另一个解，也就是说，(9)不止一个解.,因之，,如果方程(9)有唯一解，那么它的导出组只有零解.,证毕,例1求非齐次线性方程组,单击这里开始求解,例2设线性方程组,讨论方程组的解的情况与参数a,b的关系，有解时,求其解.,单击这里开始求解,三、直线平面间的位置关系的判断,平面和直线之间的位置关系是指平面与平面、,平面与直线、直线与直线之间的位置关系.,由于,平面和直线在直角坐标系下的方程，是三元线性,方程a1x1+a2x2+a3x3=b和两个三元线性方程组成,的方程组，因此，讨论它们之间的位置关系(如平,行、重合、相交等)，可用线性方程组的解的理论,阐明.,1.两个平面间的位置关系,两个平面间的位置关系有：平行、重合、相交,三种情况.,设有两个平面1,2，其方程如下：,1：a11x1+a12x2+a13x3=b1,2：a21x1+a22x2+a23x3=b2,则平面1,2间的位置关系可由线性方程组,的解的情况来确定.,为方便起见，用A表示所讨论的方程组的系数,矩阵，B表示所讨论的方程组的增广矩阵，R(A)表,示矩阵A的秩.,1)相交的条件是：R(A)=R(B)=2.,这时方程组有无穷多组解，其一般解中含有一,个任意常数，即两平面相交为一直线.,2)重合的条件是：R(A)=R(B)=1.,这时增广矩阵的两个行向量成比例，故两个平,面是重合的.,3)平行的条件是：R(A)=1，R(B)=2.,这时方程组无解，即两个平面平行，且不重合.,2.平面与直线间的位置关系,平面与直线间的位置关系有：直线平行于平面,直线在平面上，直线与平面相交于一点三种情况.,设平面的方程为,：a11x1+a12x2+a13x3=b1,直线L的方程为,则平面与直线L的位置关系由下面的方程组,的解的情况确定.,2)直线L在平面上的条件是：,1)直线L与平面相交的条件是：,这时方程组有唯一解，即平面与直线L相交,于一点，且因为|A|0，所以三个平面的法向量,线性无关，即不共面.,R(A)=R(B)=2.,R(A)=R(B)=3.,这时方程组有无穷多解(求解时有一个自由未,知量)，解集的图形是一条直线，即直线L位于平,面上.,3)直线L与平面平行的条件是：,R(A)=2，R(B)=3.,这时方程组无解，直线L平行于平面，但不,在上.,3.两直线间的位置关系,两条直线间的位置关系有：相交、平行、不共,面(即交叉不相交)三种情况.,设直线L1和L2的方程分别为,则直线L1与L2的位置关系由下面的方程组,的解的情况确定.,1)直线L1与L2相交的条件是：,R(A)=R(B)=3.,这时方程组有唯一解，两直线交于一点.,2)直线L1与L2重合的条件是：,R(A)=R(B)=2.,这时方程组有无穷多解，两条直线重合.,3)直线L1与L2平行不相交的条件是：,R(A)=2，R(B)=3.,这时方程组无解，四个平面的法向量构成的向,量组线性相关，即它们的法向量共面，从而两条直,线的方向向量平行，但直线L1上任一点都不在直,线L2上，所以L1与L2平行不相交.,4)直线L1与L2不平行不相交的条件是：,R(A)=3，R(B)=4.,这时方程组也无解，两直线不平行，也不相交,从而不共面(异面直线).,设有三元非齐次线性方程组,四、三元非齐次线性方程组解的几何意义,在本节的最后,我们来讨论一下三元非齐次线,性方程组解的几何意义.,2)有唯一解这时方程组(1)中的m个方,该方程组有唯一解,则方程组(1)的解有以下三种情况:,1)无解这时方程组(1)中的m个方程所表,示的平面既不交于一点,也不共线、共面.,程所表示的平面交于一点.,例如,其几何意义如图3-11所示.,2x-y=-3,3x+2z=-1,x-3y+2z=4,图3-11,交直线所确定.,3)有无穷多组解这时又可分为两种情形:,情形一,自由变量,基础解系中有两个向量，其一般解的形,式为,=c11+c22+0(c1,c2为任意常数).,这时方程组的所有解构成一个平面,而这个平面是,由过点0且分别以1、2为方向向量的两条相,此时，有两个,=c11+c22+0称为平面的参,数方程.,例如,设保留方程组为x+y+z=3,则可求得其通解为,则过点P(1,1,1)分别以(1,-1,0)T,(1,0,-1)T为方向,则这两条相交直线L1,L2所确定的平面的方程即,向量的两直线的方程分别为,为x+y+z=3.如图3-12,图3-12,向量的直线上.,情形二,这时方程组(1)的一般解为,=c+0(c为任意常数).,此时方程组(1)的所有解在过点0且以为方向,例如,=c+0为直线的参数方程的,向量形式.,则其一般解为,单击这里开始求解,过点(-1,2,0)以向量(-2,1,1)T为方向向量作直线,则由方程组所确定的四个平面必交于直线L.,如图3-13,2x+3y+z=4,3x+8y-2z=13,x-2y+4z=-5,4x-y+9z=-6,图313,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容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