2019 08 12 方法精讲-数量4 田鹏 笔记2020省考笔试大班-浙江1期

方法精讲-数量 4 主讲教师：田鹏 授课时间：2019.08.12 粉笔公考官方微信 1 方法精讲方法精讲- -数量数量 4 4（笔记）（笔记） 第六节 经济利润问题 【注意】 本节课讲解经济利润问题和容斥原理问题， 是两个比较重要的题型。 1.经济利润：是必考题型，每年 23 题，最多考查过 45 题。 2.容斥原理：也是高频题型，方法单一（公式、画图），公式记熟练，能用 公式解决的都是简单题，不能解则画图，性价比很高。 【知识点】经济利润问题：经济利润问题难点类似于行程问题，是公式多的 缘故。要求大家公式记熟练，多练习题目，考试自然而然可以反应出公式。 1.公式： （1） 利润=售价-成本。 需要掌握三个量之间的相互转化。 售价=成本+利润。 成本=售价-利润。 （2）利润率=利润/成本（百分数）。利润=成本*利润率。 数量关系中，利润率=利润/成本；资料分析中，利润率=利润/收入。数量 关系主要针对的是微观，比如买一条裤子，一个商家做的事情，成本容易衡量， 故计算成本利润率。资料分析主体通常是某市、某省、某国，成本不好衡量，通 常是按照收入利润率计算。 2 例： 比如老师进一条裤子， 成本为 100 元， 200 元卖出， 则赚的钱 （利润） =200-100=100 元。利润率=利润/成本=100/100=100%。 （3）售价=成本*（1+利润率）。推导：售价=成本*（1+利润率）=成本+成 本*利润率=成本+利润=售价。推导过程不重要，重要的是将公式记牢。 （4）折扣=折后价/折前价。比如卖一条裤子 100 元，系统班同学打六折， 则实际需要 100*60%=60 元，故折扣=折后价/折前价=60/100。 （5）总价=单价*数量。比如一条裤子为 100 元，有 10 个同学买，则卖出 100*10=1000 元。衍生公式：总成本=单件成本*数量；总利润=单件利润*数量。 2.经济利润和钱相关，核心解题思路：一是结合公式解方程；二是能赋值就 赋值，先学习结合公式解方程。 【例 1】（2016 浙江）某种商品原价 25 元，每半天可销售 20 个。现知道每 降价 1 元，销量即增加 5 个。某日上午将该商品打八折，下午在上午价格的基础 上再打八折出售，问其全天销售额为多少元？ A.1760 B.1940 C.2160 D.2560 【解析】例 1.求全天的销售额，全天分为两部分：上午+下午。“上午将该 商品打八折”，原来是 25 元一件，实际一件售价=25*80%=20，降价 5 元，“每 降价 1 元， 销量即增加 5 个” ， 则数量=20+5*5， 故上午的金额=25*80%* （20+5*5） 。 下午是在上午的基础上打折，故下午参考的是上午的价格。上午的实际售价是 20 元，下午单件售价=20*80%=16，比上午下降 4 元，数量增=45+4*5，则下午的 金额=20*80%*（45+4*5），全天金额=上午金额+下午金额=25*80%*（20+5*5） +20*80%*（45+4*5）=900+650+390=1940。【选 B】 【注意】1.和钱有关，判定为经济利润问题。 2.本题整体围绕“总价=单价*数量”展开。 【例 2】 （2018 北京）某水果批发商从果农那里以 10 元/公斤的价格购买了 一批芒果，运送到某地区售出。在长途运输过程中有 5%的芒果磕碰受损和另外 5%的芒果过度成熟，因此无法卖出，其余部分以 25 元/公斤的价格售出后，如果 3 不计运输等其他费用，这批芒果赚得利润 12000 元。则该批发商从果农那里购买 了多少公斤芒果？ A.480 B.800 C.960 D.1000 【解析】例 2.“10 元/公斤”为成本，且是单价，出现单价，要想到公式： 总价=单价*数量。“在长途运输过程中有 5%的芒果磕碰受损和另外 5%的芒果过 度成熟”，说明有 5%+5%=10%不能卖，能卖的部分为 90%。和钱相关，为经济利 润问题， 结合公式和方程解题。 根据 “这批芒果赚得利润 12000 元” ， 给出利润， 想到利润=总售价-总成本。已知“以 25 元/公斤的价格售出”，单价=25 元/公 斤，假设购买了 a 公斤（数量），则售价=25*90%a。成本是向果农全部买来所花 的钱，即使有 10%坏了，也属于购入成本，故成本=10a。根据利润=总售价-总成 本 ， 列 式 ： 12000=25*90%a-10a ， 化 简 为2400=4.5a-2a=2.5a ， 解 得 a=2400/25=480/5=960。【选 C】 【注意】计算 480/5，首位商 9，可以直接选 C 项，不需要继续计算。 【知识点】赋值法：未知数一旦多，会导致不知道怎么做，方程不会求，如 果题目可以赋值，且不改变结果，则可以赋值。 1.适用范围： （1）三量关系只给一个量。满足 A=B*C 的形式，A、B、C 三个量为三量关 系。可以类比前面学习过的工程问题，核心公式：总量=效率*时间。比如给完工 时间型，给多个时间，可以赋值总量求出效率再解题。经济利润问题同理，比如 给出总价=数量*单价，如果只给了单价，则可以赋值总价或者数量，按照题干思 路求解即可。 （2）给比例求比例。题目中没有一个具体量，最后求的也是比例，赋值一 量，最后可以约掉。 2.操作：对答案之外的量赋值即可。不能赋值答案，否则不需要求解了。 4 【例 3】（2017 江西）某超市购进三种不同的糖，每种糖所用的费用相等， 已知这三种糖每千克的费用分别为 11 元、12 元、13.2 元。如果把这三种糖混在 一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是： A.12.6 元 B.11.8 元 C.12 元 D.11.6 元 【解析】例 3.“每千克的费用”为单价，想到公式：总价=单价*数量。已 知单价分别为 11 元、12 元、13.2 元，类似工程问题中只给时间的题型，三量关 系只给一个量，此时可以赋值另外一个量。如果赋值数量，本题给出了“每种糖 所用的费用相等”，说明 A、B、C 的费用相等，如果赋值总价，则只需要求每个 部分的数量即可，因此赋值总价会更简单。如果赋值总价为 1，计算的时候出现 1/11、1/12、1/13.2，不好计算，最好是整数。联系给完工时间型工程问题，可 以赋值工程总量为时间的最小公倍数， 故本题可以赋值总价为单价的最小公倍数。 11、12、13.2 的公倍数为 132（11 和 12 互质，11*12=132，且 132 刚好是 13.2 的倍数）。计算数量：三种糖果表示为 A、B、C，A 糖的数量=132/11=12，B 糖 的数量=132/12=11，C 糖的数量=132/13.2=10。混合后每千克的成本=总价格/总 数量=132*3/（12+11+10）=132*3/33=12。【选 C】 【注意】1.如果设未知数求解，涉及许多量之间的运算，会很麻烦，建议大 家赋值。 2.赋值的时候，给总量关系，则赋值总量（比如本题）；给数量关系，则赋 值数量。 【例 4】（2019 山东）某商店中甲、乙、丙三种商品销量分别为 6 件、10 件和 5 件，总销售额为 x 元，其中乙商品的销售额是甲商品的 1.2 倍，丙商品的 销售额是甲商品的 4/3 倍，问如果只卖甲商品，至少要卖多少件销售额才能超过 x 元？ A.20 B.21 C.22 D.24 【解析】 例 4.出现销量， 联想公式： 总价=单价*销量。 设总价为 x， 已知甲、 乙、丙三个商品总价之间的关系。三量关系中，给出了单价，只给一个量，则可 5 以赋值。上题赋值总价是因为给出了三种糖总价的关系是相等的，本题给出了销 售额（总价）的关系，故赋值总价。已知比例关系，当甲为 10 时，“乙商品的 销售额是甲商品的 1.2 倍”，乙是 12，根据“丙商品的销售额是甲商品的 4/3 倍”，得丙/甲=4/3，说明甲是 3 的倍数，如果赋值甲为 10，则丙会出现小数， 故赋值总价：甲为 30，则乙为 36，丙为 40。计算单价：甲单价=30/6=5；乙单 价=36/10=3.6；丙单价=40/5=8。x=甲的销售额+乙的销售额+丙的销售额 =30+40+36=106。 假设卖 n 件， 可列式： 5n106， 解得 n106/5=21.2， n 取 22。 【选 C】 【注意】1.比如本题给出甲、乙、丙单价比为 3：2：1，则赋值单价，本题 给的是总价之间的关系，故赋值总价。 2.三量关系，题干给什么关系，赋值什么（题干给单价的关系，赋值单价； 题干给总价的关系， 赋值总价） ， 解题会比较快。 如果按照自己的想法随便赋值， 解题会比较麻烦。 3.销售额是总价，如果是单价，会给出“每千克的费用”这样的表述。 4.前面出现单价，要想到总价=单价*数量；出现销量，同样要想到总价=单 价*销量。 5.本题总销售额为 x 是出题人设的未知数，根据题意：x=甲的销售额+乙的 销售额+丙的销售额，x 是一个未知数。 6.通常计算出总价以后，会直接写出甲、乙、丙的单价，是一种做题习惯， 如果意识到本题不需要计算乙和丙的单价，不计算是没有问题的。 【知识点】分段计费： 1.题型判定：生活中水电费、出租车计费、税费等，每段计费不同。问：在 不同收费标准下，一共需要的费用？每段计费规则不同，通常是用的越多，费用 越高。 2.计算方法： （1）分段计算。比如分成两段 a 和 b。 （2）汇总求和。计算 a+b。 6 【例 5】（2018 吉林）某市出租车采用分段计价办法：2.5 公里及以内收费 5 元，超过 2.5 公里按每公里 1.5 元计价，每次加收 1 元燃油附加费。某位乘客 有 22.5 元零钱，最多能走的距离是： A.14 公里 B.13.5 公里 C.12 公里 D.15.5 公里 【解析】例 5.给出两段路，每段的计费规则不同，判定为分段计费问题。 用线段形象表示，前面 2.5 公里为 5 元，这部分即使只走了 1 米，也要收 5 元。 后面每公里 1.5 元，“某位乘客有 22.5 元零钱”，最多是将 22.5 元用完。结合 选项可以，距离一定超过 2.5 公里。设距离为 x，可列方程：5+1.5*（x-2.5） +1=22.5，化简为 x-2.5=11，解得 x=13.5 公里。【选 B】 【注意】1.分段计费规则很简单，考场上判定出题型一定要做。 2.要想走得多，燃油费需要加的少，只能打一次车。 【答案汇总】1-5：BCCCB 【例 6】（2019 北京）王先生购买的医疗保险报销规定为：当年花费 1300 元（含）以内的部分全部自付，超出 1300 元部分自付 10%，其余部分由保险支 7 付。王先生在 2018 年第一次到医院看病时，自己支付了 960 元，第二次看病自 付了 520 元，则王先生第二次看病时医院共收费： A.1800 元 B.1960 元 C.2140 元 D.2600 元 【解析】例 6.读题可知，1300 为临界值，前后规则不同，判定为经济利润 问题中的分段计费问题。报销规则简单，超过 1300 部分，自付 10%，保险公司 支付 90%。核心思路：分段计费，汇总求和即可。如果两次加和为 1300 以内， 则第二次收费不需要计算，从出题人角度，不会这么出题。故第二次付费一定会 有保险公司支付的部分。 分段：第一次花费了 960，9601300，故第一次实际支付就是 960。第二次 花费，先补齐 1300-960=340 元，按照原来的规则付款；还有 520-340=180 元， 说明这 180 是超出 1300 而交的，按照 10%的规则付款。10%对应 180，则原价的 100%对应 1800（医院应收超出 1300 元的部分为 1800 元），则第二次医院收费 =1800+340=2140。【选 C】 【注意】 1.比如买 1500 元东西， 其中 1300 元以内免赔， 超过部分 （200 元） 支付 10%，则实际花钱=1300+200*10%=1320。 2.是超出 1300 的部分付 10%，不是全部付 10%。 3.无论花费几次，在当年是可以累加的。 4.比如刚好花费 1300，则需要支付 1300，故第一次只能支付 960，如果超 过 1300，则价格是 1300+超过部分价格，故花费一定比 1300 大。 【知识点】函数最值：原理比较难，但是原理不重要，类似牛吃草问题，是 套公式的套路题，只要记住题型特征和方法，这种题型 100%可以做，且 1 分钟 之内可以做出来。 8 1.题型特征：单价和销量此消彼长（比如单价增、销量减或者单价减、销量 增），问何时总价或利润最高？ 2.计算方法（两点式）：设提价次数为 x 次。 （1）第一步：令总价/总利润为 0，解得：x1、x2。 （2）第二步：当 x=（x1+x2）/2 时，取得最值。 3.引例：单价为 3000 元，可卖 16 万件，若每提升 300 元，则销量降低 1 万件，问销售总额最高为？ （1）答：单价增，销量减，问销售总额最高，判定为函数最值问题。公式： 总价=单价*销量（目前考试最喜欢考查的公式），假设价格提升了 x 次，则价格 =3000+300 x，同时销量降低 x 次，销量=16-x，总价=（3000+300 x）*（16-x）， 两个 x 相乘，会出现 x，二次函数求最值的时候，高中老师教过求导，但是不 好理解，容易出错；还有公式 x=-b/2a 时，取得最值，但是需要找到 a 和 b，浪 费时间。 老师推荐方法 （重点） ： 令总价=0， 如果 0=a*b， 则要么 a=0， 要么 b=0， 如果 3000+300 x=0，解得 x1=-10；如果 16-x，解得 x2=16。当 x=（x1+x2）/2 时， 得最高值，即 x=（-10+16）/2=3 时，销售额最高。 （2）原理：二次函数在图上为抛物线，开口向上有最低值；开口向下有最 高值。 本题有最高值，如图，抛物线是对称的，x 位于对称轴时有最值，对称轴所 在点一定是中点，当 y=0 时，可以解得 x1和 x2，对称轴 x=（x1+x2）/2。 9 【例 7】 （2018 联考） 某苗木公司准备出售一批苗木， 如果每株以 4 元出售， 可卖出 20 万株，若苗木单价每提高 0.4 元，就会少卖 10000 株。问在最佳定价 的情况下，该公司最大收入是多少万元？ A.60 B.80 C.90 D.100 【解析】例 7.单价提高，会少卖，单价和销量此消彼长，问最大收入，考 虑公式：收入=单价*销量。设提升 x 次，单价=4+0.4x，每提升 1 次，少卖 1 万 株，销量=20-x，则收入=（4+0.4x）*（20-x），解得 x1=-10，x2=20，x=（x1+x2） /2=10/2=5。求最大收入，将 x=5 代入（4+0.4x）*（20-x），6*15=90。【选 C】 【答案汇总】6-7：CC 10 【小结】经济利润问题： 1.基础经济： （1）公式：需要牢记。 利润=售价-进价。 利润率=利润/进价。 折扣=折后价/折前价。 总价=单价*个数。 （2）方法：方程法、赋值法（方程结合公式，能赋值就赋值） 。三量关系中 只给一个量，或者给比例求比例时考虑赋值。 2.分段计费： （1）水电费、出租车费、税费等。 （2）分段计费、汇总求和。 3.函数最值： （1）识别： 单价和数量此消彼长。 求最大利润或售价。 （2）方法：两点式。 第七节 容斥原理 11 【注意】有同学听见容斥就会觉得难，其实我们在高中选修时学过，对应的 是集合问题，两集合容斥就是两个圈，三集合容斥就是三个圈。 【知识点】两集合：例如一个圈是去黄山的人，一个圈是华山的人，中间部 分为都去过的人，有都的部分就是两集合容斥。如图，框代表总人数，有去 A 的人，也有去 B 的人，中间交叉的是 A、B 都去的，白的部分是都不去的，若想 求圈里的面积，用 A、B 来表示，总数-都不去=圈的面积=A+B（但要注意中间 A B 加了两次， 加 A 时加了一次， 加 B 时又加了一次） ， 故还需再减掉一个 AB。 推导原理不重要，只需牢牢记住公式。 1.识别：两主体（A 和 B）、有交叉。 2.公式：A+B-AB=总数-A、B 都不满足个数。 【例 1】（2019 江苏）市电视台向 150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频 道的收视情况，其中 108 人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道 又看过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是： A.17 B.22 C.29 D.38 【解析】例 1.有甲有乙，两集合，有交叉重叠（既甲又乙），两集合容斥 问题。公式：A+B-AB=总数-A、B 都不满足，设都没看过的人数有 x 人，代入 数据：108+36-23=150-x，选项尾数各不相同，可以用尾数法验证，尾 4-尾 3= 尾 0-x，x 尾数=9，对应 C 项。【选 C】 【注意】要掌握识别，两个主体，有交叉重叠，两集合容斥问题。 12 【例 2】（2014 浙江）某委员会有成员 465 人，对 2 个提案进行表决，要求 必须对 2 个提案分别提出赞成或反对意见。其中赞成第一个提案的有 364 人，赞 成第二个提案的有 392 人，两个提案都反对的有 17 人。问赞成第一个提案且反 对第二个提案的有几人？ A.56 B.67 C.83 D.84 【解析】 例 2.两个都反对=都不， 两集合之间出现 “都” ， 两集合容斥问题。 公式：A+B-AB=总数-都不满足，都满足的人数未知，将其设为 x，代入数据： 364+392-x=465-17，本题不能用尾数法，因为 x 求得不是问题所求。计算时先约 分,291+17=x，解得 x=308，要求第一个赞同第二个反对的有多少人，公式中没 有这个量，结合图来看，假设第一个圈是赞成第一个提案的，第二个圈是赞成第 二个提案的，都赞成的就是中间部分，赞成第一个反对第二个对应横线部分，为 364-308=56 人。【选 A】 【注意】考场上快速认定需要画图的方法：看题目的问题，当容斥问题中出 现“只某一个主体”，一定要结合画图来做。 【知识点】三集合标准型：与两集合很像，框是总体，白色部分是都不满足 的，三个圈对应 A、B、C 三个主体，若想求圈内的面积，可知圈的面积=总数- 都不，先将三个圈加起来，即 A+B+C，还需要去重，AB 的部分加 A 的时候加了 一次，加 B 的时候又加了一次，实际只需要一次，因此要减掉一个 AB；AC 部分也加了两次（加 A 的时候加了一次，加 C 的时候又加了一次），也要减掉一 次 AC； 同理， BC 也多加了一次， 多加的 BC 也减掉。 还需要注意中间部分， 13 被三种颜色的笔共画了三次，即减 AB、AC 和 BC 时共减了三次，加 A、B、 C 的时候，共加了三次，现在中间部分面积是空的，还要再加一次 ABC。公 式：A+B+C-AB-BC-CA+ABC=总数-都不。 1.识别：三主体，有交叉。 2.公式：A+B+C-AB-BC-CA+ABC=总数-都不。 【例 3】 （2018 陕西） 有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析， 结果显示， 抗氧化剂达标的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，抗氧 化剂和防腐剂都达标的有 54 种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化剂和 漂白剂都达标的有 35 种，三种食品添加剂都达标的有 30 种，那么三种食品添加 剂都不达标的有多少种？ A.14 B.15 C.16 D.17 E.18 F.19 G.20 H.21 【解析】例 3.三个集合，出现“都”，三集合容斥问题，公式：A+B+C-A B-BC-CA+ABC=总数-都不。根据题意代入数据：68+77+59-54-43-35+30 =120-都不，用公式做一步到位，用尾数法计算，减的时候能凑整就凑整，能约 分就约分，尾 7+尾 9-尾 4=尾 2=0-都不，都不的尾数是 8，对应 E 项。【选 E】 【注意】1.容斥题目 90%都是简单题，难题考的少。 2.陕西题目，复习时遇到可以跳过，如果想挑战一下可以尝试 2017 年和 20 18 年的题目。 14 3.若将题目条件改为 “满足 2 个的有 105 个” ， 还能用这个公式吗？不可以， 因为 AB、BC、CA 都不知道，无法计算。 【知识点】三集合非标准型： 1.公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。 2.推导：（1）满足两个的用字母表示为 a+b+c，满足三个的为 m。满足两个 和只满足两个是否一样？在语义（语法、表达）上理解，满足两个的一定包含满 足三个的，但是公务员考试中，一旦题干出现满足两个就是“只满足两个”，大 家一定要记住。如果出现“至少 2 个”，就是 a+b+c+m。 （2）框表示总体，空白部分是都不满足的，求圈的面积，圈的面积=总数- 都不，先将三个圈加起来，即 A+B+C，其中 a 加了两次（A 加了一次，B 加了一 次），要减掉一次，同理 b 和 c 都多加了一次，也要减掉，减掉了 a、b、c，就 是减掉了（a+b+c），即将只满足两个的减掉了，此时 m 一共加了三次（a、b、c 各加了一次），实际只需要一次，还需要再减去 2 个 m，就是圈的面积。 3.三集合标准与非标准的区分：一样的部分是 A+B+C，满足三个和总数-都 不，重点看不同部分： （1）标准型：A+B+C-AB-BC-CA+ABC=总数-都不。 特点：给出两两集合的数值：既又或什么和什么满足。 （2）非标准型：A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不。 特点：出现“（只）满足两个条件的数值”或无“既又”。 15 （3） 出现 “既又” 用标准公式， 出现 “只” ， 或是无 “既又” 用非标准公式。 （4）画 3 个圈套在一起，阴影部分是满足“既又”的，满足两个 的中间会有一个空的圈。 【例 4】（2018 江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为 90%，在调查对象中有 180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学 习，100 人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有 50 人， 同时使用两种方式学习的有 20 人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这 次共发放了多少份问卷？ A.370 B.380 C.390 D.400 【解析】例 4.“不存在三种方式学习都不用的人”，即三种都不用=0，三 个集合存在交叉，是三集合容斥问题，题目无：“既又”，且出现两种 方式， 用非标准公式。 公式： A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不， 代入数据：200+100+180-20-2*50=总数-0，数值很整，算的时候直接约分，总数 =360， 本题选项没有 360， 不然会有很多同学会选错。 实际只回收了 90%的问卷， 故发放问卷数=360/90%=400 份。【选 D】 【例 5】（2016 重庆下）一旅行团共有 50 位游客到某地旅游，去 A 景点的 游客有 35 位，去 B 景点的游客有 32 位，去 C 景点的游客有 27 位，去 A、B 景点 的游客有 20 位，去 B、C 景点的游客有 15 位，三个景点都去的游客有 8 位，有 16 2 位游客去完一个景点后先行离团，还有 1 位游客三个景点都没去。那么，50 位游客中有多少位恰好去了两个景点？ A.29 B.31 C.35 D.37 【解析】例 5.都不=1，三个主体交叉重叠，是三集合容斥问题。题目虽然 出现了“既又”，又出现了满足两个，既满足标准公式又满足非标准公 式， 此时要看哪个公式与答案 （问题） 最接近， 本题问满足两个， 故用非标公式。 公式： A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不。 设满足两个的是 x 人， 代入数据： 35+32+27-x-2*8=50-1， 选项尾数各不相同， 用尾数法， 尾 8-x=尾 9， 18-9=9，x 的尾数为 9。【选 A】 【注意】1.条件中有 2 个游客离开了，不要纠结，题目问的是参观景点的人 数，即使人走了，景点也参观了。 2.去 A、B 的和去 B、C 的加起来之后变大了，但是中间还有黑色部分是重叠 的，把它减掉，会比二者的和小。 【答案汇总】1-5：CAEDA 【注意】容斥问题的解题方法： 1.公式法：题目中所给所求的都是公式的一部分。 2.画图法：只满足某一个条件；公式解决不了的。 （1）标数字：从内往外（剔除重复）。 （2）一一对应（每个封闭区域只有一个数）。 【例 6】（2018 联考）联欢会上，有 24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃 水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有 12 人，既吃冰激凌又吃水果的有 16 人，既 吃蛋糕又吃水果的有 18 人，三样都吃的则有 6 人。假设所有人都吃了东西，那 么只吃一样东西的人数是多少？ A.12 B.18 C.24 D.32 17 【解析】例 6.读完题后，给出了三个“既又”，就会想到用标准型公 式，但是只用标准型公式无法求出问题所求，还需要结合其他公式，公式法不好 用，可以结合画图来看（考场上做题时看到“只吃一样”，直接画图）。三个圈 代表冰激凌、蛋糕、水果，然后标数据，从内向外标，满足三个的是 6，既吃冰 激凌又吃蛋糕的有 12 人，所以另一部分是 12-6=6； “吃冰激凌又吃水果的有 16 人”所以另一部分是 16-10=6；同理最后一部分为 18-6=12，因此只吃冰激凌的 =24-6-6-10=2，只吃蛋糕的=30-6-6-12=6，只吃水果的=38-10-6-12=10，只吃一 样的对应图中的蓝色阴影部分，为 2+6+10=18。【选 B】 【例 7】（2018 联考）一个班级组织跑步比赛，共设 100 米、200 米、400 米三个项目。班级有 50 人，报名参加 100 米比赛的有 27 人，参加 200 米比赛的 有 25 人，参加 400 米比赛的有 21 人。如果每人最多只能报名参加 2 项比赛，那 么该班最多有多少人未报名参赛？ A.11 B.12 C.13 D.14 【解析】例 7.现在最时髦的考法，将容斥问题和其他问题结合起来，难度 高一些。“最多只能参加两个”，说明三个都满足的是 0。问“最多有多少人未 报名参赛”，即求都不。非标准型公式：A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件= 总数-都不满足个数。设满足两个条件的为 x，都不参加的为 y，代入数据： 27+25+21-x-0=50-y，推得 y=x-23，此时已经无法再算了，想要 y 值大，x 一定 要达到最大，x 代表的是满足两个条件的，则说明报名参加两项的人越多，所设 的 x 越大，y 就越大。要满足参加两项的人多，现在每一项都有人报名，其中有 18 交叉重叠，可以先把 50 个人参加运动会的总次数算出来，27+25+21=73 次，总 次数固定，若想满足参加两次的人多，说明 73 次中的这些人，尽量每人都参加 2 次，故参加两次的人=73/2=36 余 1，最多有 36 人参加两次比赛，余下的 1 人 参加一次比赛，y=36-23=13，对应 C 项。【选 C】 【注意】1.三集合公式：标准型：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数- 都不满足个数。非标准型：A+B+C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满 足个数。题目只给出了 A、B、C 三个主体，如果用标准型公式会有 4 个未知数（A B、AC、BC、都不满足），如果用非标准型公式，只有 2 个未知数（满足 两个条件、 都不） ， 故用非标准型公式； 或者是观察题目， 没有出现 “既又” ， 用非标准型公式。 2.考场上遇到容斥+最值，直接用非标准型公式。 3.如果说现在有 x 个人，每人报名参加 1 次运动会，x 个人就参加了 x 次。 如果是 y 个人，每人参加 2 次，y 个人就参加了 2y 次。总次数=参加 1 次的人*1 次+参加 2 次的人数*2 次=27+25+21=73，现在想要参加 2 次的人多，则参加一次 的人越