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偏微分方程数值解法（第四讲）,2014年11月05日星期三,1.一阶线性常系数双曲型方程组考虑一阶线性常系数方程组其中为常系数矩阵。,定义：如果A的特征值是实的，并存在非奇异矩阵S使得其中为A的特征值，称（1）为双曲型方程组，如果A是对称阵，则称（1）为对称双曲型方程组，如果A的特征值是实的且互不相同，则称（1）为严格双曲型方程组。给定初始条件与（1）构成初值问题。,4.3一阶双曲型方程的差分格式,常用求解该线性方程组的格式有a.后退的Euler方法此格式不能用。b.LaxFriedrichs格式c.蛙跳格式,4.3.1Lax-Friedrichs格式,2.二阶线性双曲型方程为推导简单起见，令令因此我们有,4.3.1Lax-Friedrichs格式,这里A的特征值为-1,1，因此这个方程组为双曲型方程组。边界条件所以所以初始条件,4.3.1Lax-Friedrichs格式,也可直接求解：截断误差为稳定性条件为,3二维问题求解的格式有：a.隐格式该截断误差为,令代入格式后可得，格式是无条件稳定的。b.Crank-Nicolson格式该截断误差为格式为无条件稳定。,用隐格式求解二维问题得到的线性方程组其系数矩阵为宽带状。因此求解不是特别便利。c.Lax-Friedrichs格式显格式，条件稳定令,注意到如果，即则格式稳定，若b=a,稳定性条件化为,d.局部一维格式在x方向的差分把推进到在y方向上的差分把推进到其中是关于x方向、y方向的差分算子，这样的二步法称为分数步长法，也称为局部一维格式,格式1：可改写为这里，,为分析截断误差，消去上述格式等价于可得截断误差为对应第一式的增长因子是对应第二式的增长因子是整体格式的增长因子为格式为无条件稳定。,格式2：Lax-Wendroff这里，x方向定义的算子有y方向定义的算子有,格式2：Lax-Wendroff将第一式代入第二式可得等价式子：得到截断误差为第一式当时有第二式当时有由可得上述格式的稳定性条件为,e.Beam-Warming格式C-N格式将C-N格式等价地写成或写成,上式也可等价为上式中最后一项是的项，去掉后可得一个二阶格式由上可得AD
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